Глава V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Элементарные сведения по динамике твердого тела

В предшествующих главах движение системы материальных точек рассматривалось чаще всего в предположении, что оно не стеснено какими-либо связями, и только в конце предыдущей главы было показано, каким образом можно аналогично исследовать движение системы со связями. В этой главе рассматривается один важный частный случай наложения связей; изучается движение твердого тела, т. е. системы, состоящей из любого (конечного или бесконечного) числа материальных точек, движущихся так, что во время движения расстояние между точками не меняется. Условия неизменности расстояния между точками естественно накладывают на систему голономные связи, и поэтому при отсутствии внешних неголономных связей изучение движения твердого тела сводится к изучению движения системы, состоящей из любого числа материальных точек с голономными связями.

Прежде чем приступить к изучению законов движения систем такого рода, напомним читателю некоторые элементарные сведения, относящиеся к движению твердого тела. Предполагается, что эти сведения известны читателю (например, из общего курса физики), но тем не менее стоит напомнить их, прежде чем приступить к изложению более глубоких результатов.

1° С твердым телом может быть связана геометрическая твердая среда (см. гл. I), т. е. система отсчета. Поэтому все кинематические соотношения, полученные в гл. I для движения одной системы отсчета относительно другой, полностью применимы и к движению твердого тела относительно какой-либо системы отсчета, не связанной с телом. В частности, при движении тела в каждое мгновение существует вектор угловой скорости со такой, что скорости точек тела распределены по закону , где А — произвольно выбранная точка тела, а — радиус-вектор, проведенный к точке тела из точки А.

2° Центр инерции твердого тела совпадает с его центром тяжести, .

Этот факт следует из того, что центр тяжести в однородном гравитационном поле расположен в центре параллельных сил (сил тяжести), пропорциональных массам частиц тела, и следовательно, его положение определяется по той же формуле, что и положение центра инерции тела.

При движении твердого тела движение его центра тяжести описывается теоремой о движении центра инерции:

Теорема о движении центра инерции была выведена в гл. III для системы, не стесненной механическими связями. Твердое тело представляет собой систему со связями, однако доказательство теоремы о движении центра инерции, проведенное в гл. III, полностью сохраняется. Наличие связей, удерживающих точки на неизменных расстояниях одна от другой, влияет на характер внутренних сил, действующих между точками, а эти силы все равно подчинены третьему закону Ньютона и взаимно уничтожаются при выводе уравнения движения центра инерции.

При поступательном движении тела

и

где — скорость точек тела в поступательном движении.

3° Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, может быть заменена одной из четырех простейших систем. а) одной силой; б) системой, не содержащей сил двумя силами, образующими пару сил, и г) тремя силами, из которых две образуют пару, а третья перпендикулярна плоскости этой пары.

Доказательство этого утверждения приведено в приложении, помещенном в конце книги и посвященном теории скользящих векторов.

4° Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, определяется лишь работой внешних сил.

Действительно, рассмотрим две точки , принадлежащие твердому телу. По третьему закону Ньютона силы их взаимодействия равны и противоположно направлены (вдоль прямой, соединяющей эти точки). По определению твердого тела расстояние между точками не меняется, т. е. если — радиусы-векторы точек, то . Для таких двух сил взаимодействия .

Это рассуждение верно для любых двух точек тела, и следовательно, элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю.

Выведем теперь формулу для подсчета работы внешних сил, приложенных к твердому телу. Эта элементарная работа равна

Выберем в теле произвольную точку О и поместим в нее начало системы координат, оси которой параллельны осям х, у, z рассматриваемой инерциальной системы. Подобно тому, как мы это делали в гл. I, представим движение тела как сумму поступательного движения вместе с точкой О (переносное движение) и вращения относительно неподвижной точки О (относительное движение). Тогда скорость точки выражается формулой

где — радиус-вектор, проведенный к точке из точки О. Преобразуем теперь выражение для элементарной работы так:

Подставляя сюда выражение для , получаем

Первая сумма составляет главный вектор внешних сил. Во второй сумме стоят смешанные двойные произведения, а они допускают циклическую перестановку сомножителей. Поэтому

где - главный момент внешних сил относительно полюса О. В результате получаем

Итак, элементарная работа всех сил, приложенных к твердому телу, выражается через главный вектор внешних сил и главный момент внешних сил относительно произвольной точки.

Для вычисления элементарной работы помимо действующих сил надо знать лишь скорость произвольной точки О и мгновенную угловую скорость .

5° Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре инерции тела, если бы в ней была сосредоточена вся масса тела, плюс кинетическая энергия тела в его движении относительно системы отсчета, связанной с центром инерции и движущейся вместе с ним поступательно (теорема Кёнига).

Чтобы доказать теорему Кёнига, выберем в теле произвольную точку О и поместим в нее начало вспомогательной системы координат х, у, z, поступательно движущейся вместе с этой точкой. Тогда

где скорость точки в ее движении относительно системы х, у, z.

Приступим теперь к подсчету кинетической энергии

Подставляя сюда выражение для , имеем

Первая сумма представляет собой кинетическую энергию тела в его переносном движении вместе с точкой О. Она равна

Вторая сумма представляет собой кинетическую энергию движения тела по отношению к системе координат, движущейся поступательно с точкой О. Обозначим ее через То?

Третью сумму можно преобразовать так:

где — скорость центра инерции в относительном движении. Поэтому при произвольном выборе точки О

Если же выбрать точку О в центре инерции С, то и

Теорема Кёнига доказана.

Для того чтобы определить кинетическую энергию , обратим внимание на то, что в относительном движении точка О неподвижна (она находится в начале координат системы ), и поэтому подсчитывается как кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. При наличии неподвижной точки всегда существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. В рассматриваемое мгновение скорости распределяются так, как если бы тело вращалось с угловой скоростью (о вокруг этой оси, поэтому

где — расстояние от точки до мгновенной оси, и кинетическая энергия То равна

где — момент инерции относительно мгновенной оси (см. ниже).

6° Твердое тело представляет собой систему с шестью степенями свободы. Действительно, в гл. I было показано, что движение системы отсчета, а значит, и связанного с ней тела, всегда можно рассматривать как сложное движение, в котором переносным является поступательное движение вместе с какой-либо произвольно выбранной точкой А тела, а относительным — движение тела с неподвижной точкой А. Положение точки А полностью определяется тремя координатами этой точки; положение же тела, одна точка которого неподвижна, полностью определяется заданием трех величин, например трех углов (далее будет подробно разъяснено, каким образом можно выбрать эти три угла).

Условимся далее в качестве точки А выбирать центр тяжести С (т. е. центр инерции) тела. Тогда движение точки А, а значит, и поступательное движение системы, связанной с точкой А, полностью определяется теоремой о движении центра инерции

Проектируя это уравнение на оси координат, получаем для движения центра инерции три скалярных уравнения

Для того чтобы полностью описать движение тела в пространстве, надо к этим трем уравнениям, определяющим движение центра инерции, добавить уравнения, описызающие изменение во времени обобщенных координат, характеризующих движение тела вокруг центра инерции. Выбор этих обобщенных координат и способы записи уравнений для них будут подробно рассмотрены ниже. Эти уравнения вместе с уравнениями для движения центра инерции и составляют систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела.

В данном случае нас интересует только движение тела с вполне определенной неподвижной точкой — центром инерции, но движение тела с неподвижной точкой интересно и само по себе, так как оно часто встречается в приложениях. Примерами движения этого вида могут служить, например, движение гироскопа в кардановом подвесе и движение раскрученного волчка. Поэтому, рассматривая далее в этой главе движение относительно неподвижной точки, мы не будем связывать себя условием, что неподвижная точка расположена в центре инерции .

7° Это замечание касается вращения тела относительно неподвижной оси l. Для подсчета кинетической энергии тела в этом случае нет использовать теорему Кёнига даже в том случае, когда центр инерции тела не лежит на оси и имеет скорость, отличную от нуля. Действительно, можно выбрать начало координат на неподвижной оси и рассуждать точно так же, как это делалось в конце замечания 5° при подсчете , поскольку формула (8) определяет в этом случае не относительную, а абсолютную скорость, если считать, что — расстояние от точки до оси вращения. Поэтому в случае движения тела относительно неподвижной оси

Сумма, входящая в это выражение, называется моментом инерции тела относительно оси l и обозначается через :

В силу (9) и (10) имеем

При вращении тела относительно неподвижной оси кинетический момент относительно этой оси равен (рис. V.1)

Для мгновенного вращения вокруг мгновенной оси соответственно имеем

где — кинетический момент тела относительно мгновенной оси. В связи с тем, что мгновенная ось меняет свое положение относительно тела (вспомните подвижный и неподвижный ), меняется и момент инерции Этот факт имеет важное значение и в дальнейшем будет рассмотрен отдельно.

Рис. V.1.

Вернемся к формуле (12), т. е. к случаю, когда ось неподвижна. Дифференцируя по t обе части равенства (12), получаем

Но в силу теоремы об изменении кинетического момента производная в правой части равна — главному моменту внешних сил относительно оси , поэтому

или

где — угол поворота тела вокруг оси . Это равенство называют дифференциальным уравнением вращения тела относительно неподвижной оси. Если известны зависимость момента внешних сил относительно оси от времени (либо от , либо от ) и начальные данные в момент , то решение дифференциального уравнения (14) позволит найти как функцию времени.

Равенство (14) по форме напоминает второй закон Ньютона для точки

но в нем вместо векторов стоят скалярные величины , а роль массы играет момент инерции относительно оси.