§ 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава

Предположим теперь, что рассматривается система, которая не удовлетворяет условиям основной модели классической механики по другой причине: состав системы во время изучаемого движения не остается постоянным, а изменяется. Начнем с нескольких простых примеров.

В качестве первого примера рассмотрим движение трубки, заполненной мелкими шариками, например дробинками, под действием некоторой силы (рис. III.16, а). Предполагается, что трубка закрыта пробкой, массой которой можно пренебречь (на рисунке эта пробка обозначена буквой П) и что во время движения дробинки не высыпаются из трубки и не добавляются в нее. Тогда трубка и дробинки — система постоянного состава, и к ним применимы законы и теоремы механики.

Предположим теперь, что пробка П вынута, и поэтому дробинки высыпаются из трубки (рис. III.16, б); в то же время в нее все время поступают дробинки из какого-либо бункера. Предполагается, что «приток» дробинок из бункера в трубку в точности равен их «расходу». Поэтому количество дробинок, находящихся внутри трубки, всегда совершенно такое же, какое было до того, как была вынута пробка П и начался «проток» дробинок через трубку.

Несмотря на то, что в обоих рассмотренных случаях масса трубки с дробинками совершенно одинакова и движение рьпывается одной и той же силой, движения, которые возникают в этих случаях, будут различными. Теоремы механики, доказанные выше в этой главе, нельзя применять к случаю, соответствующему рис. III. 16, б, так как в этом случае не выполняется условие постоянства состава рассматриваемой материальной системы: несмотря на то, что количество вещества в трубке не изменяется во времени, состав этого вещества меняется: одни дробинки (высыпающиеся из трубки) заменяются другими (поступающими из бункера). Совершенно аналогично обстоит дело в случае, представленном на рис. III.17, где через трубку протекает жидкость, скажем, вода.

Рис. III.16.

Представим теперь себе пружинные весы, на которых взвешиваются три отрезка трубы: -образный (рис. III.18, а), -образный (рис. III.18, б) и прямой горизонтальный (рис. III. 18, в). Через трубы протекает жидкость, приток которой в трубу в точности равен расходу, и взвешиваемые отрезки все время полностью заполнены водой; направление течения показано стрелками. Предполагается, что во всех трех случаях вес трубы и заполняющей ее воды совершенно одинаков. С точки зрения обычных представлений механики систем постоянного состава показания весов в этих случаях должны быть одинаковы. Однако в действительности показания весов будут разными. Это различие показаний весов за счет протека жидкости возникает благодаря явлениям, специфическим для механики систем переменного состава и не имеющим места для систем постоянного состава.

В качестве следующего примера рассмотрим ротор гидравлической турбины, условно изображенный на рис. III.19. Непрерывный поток воды через турбину является равномерным, и количество воды, заполняющей промежутки между лопатками турбины, не меняется во времени. С точки зрения механики системы постоянного состава ротор турбины уравновешен и нет непосредственных причин для создания вращающего момента. Между тем только за счет протока воды через турбину возникает вращающий момент, достаточный для работы, скажем, мощных динамомашин.

Рис. III.17.

Рис. III.18.

В качестве последнего примера рассмотрим движение излучающей материальной частицы, либо испаряющейся во время движения жидкой капли, либо, наконец, ракеты (рис. 111.20). Благодаря горению топлива внутри ракеты развиваются большие давления, и продукты горения вылетают из сопла наружу. Ракету можно было бы рассматривать как систему постоянного состава, но тогда наряду с самой ракетой нужно было бы все время рассматривать и вытекшее ранее «облако» газа. К системе «ракета + вытекшие газы» могут быть применены теоремы механики, выведенные в этой главе. В частности, если рассматривать движение ракеты при отсутствии внешних сил, то ракета и вытекшие из нее газы представляют собой замкнутую материальную систему и, следовательно, скорость центра инерции этой системы не может меняться. Поэтому из того факта, что газы под действием внутренних сил вытекают, скажем, влево, следует сразу, что корпус ракеты должен двигаться вправо.

Рис. III.19.

Рис. III.20.

Однако если бы мы захотели изучать движение корпуса ракеты с не сгоревшим к этому моменту топливом, не учитквая движения ранее вытекших из ракеты газов, то теоремы механики нельзя было бы применять непосредственно из-за того, что газы выбрасываются из ракеты, материальный состав такой системы меняется, и следовательно, корпус ракеты с оставшимся в нем (несгоревшим) топливом представляет собой систему переменного состава. Аналогично обстоит дело при движении излучающей частицы или испаряющейся капли.

Наша цель состоит в том, чтобы научиться применять законы механики к системам подобного рода. Мы сконцентрируем свое внимание на теоремах об изменении количества движения и момента количества движения системы и на тех изменениях, которые надо внести в эти теоремы для того, чтобы они были верны и для систем переменного состава, но постоянного объема — все рассмотренные выше примеры относились к системам такого рода.

Рис. III.21.

1. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента применительно к системам переменного состава. Рассмотрим в системе отсчета (эта система может быть и неинерциальной) систему материальных точек, которые в момент заполняют некоторый объем W (рис. III.21, а). Предположим, что этот объем выделен какой-либо проницаемой перегородкой, сквозь которую могут выходить заключенные внутри него частицы и входить частицы извне.

Отметим крестиками частицы, находящиеся в момент в объеме W, так, как это показано на рис. III.21, а. Пусть, далее, в момент частицы, занимавшие в момент объем W и отмеченныг крестиками, занимают некоторый другой объем (рис. III.21, б).

Тогда в этот момент объем W будет частично заполнен теми частицами, которые были в нем ранее, а частично новыми частицами, проникшими сквозь ограничивающую этот объем оболочку за время (они отмечены на рис. III.21, б кружками).

Введем теперь в рассмотрение две материальные системы. Прежде всего мы будем рассматривать систему постоянного состава, образованную теми материальными точками, которые находились в объеме W в начальный момент , т. е. частицы, отмеченные крестиками. Со временем эти точки, вообще говоря, выходят из объема W. Такую систему постоянного состава (но переменного объема) назовем системой . По отношению к этой системе верны теоремы, доказанные в этой главе, в частности, теорема об изменении количества движения.

Наряду с этой системой будем рассматривать другую систему, состоящую в любой момент из материальных точек, заполняющих фиксированный объем W; часть материальных точек выходит из этой системы и далее в ее составе нами не учитывается, часть же точек входит в эту систему извне. Такую систему будем называть системой W. Система W является системой постоянного объема (но переменного состава).

Разумеется, в каждое мгновение можно вычислить векторы количества движения для систем и .

В момент система совпадает с системой W, и поэтому

Рассмотрим теперь момент . В этот момент количество движения системы W и системы уже могут быть различны. Количество движения системы W можно выразить так:

Здесь — количество движения частиц, уходящих из объема W за время (т. е. частиц, отмеченных крестиком, но не находящихся в этот момент в объеме соответственно — количество движения частиц, приходящих за время в объем W извне (т. е. частиц, отмеченных на рис. III.21, б кружками).

Подсчитаем производную :

Учитывая равенство (80) и очевидное соотношение

получаем

где обозначают соответственно пределы

Непосредственно видно, что этими пределами служат векторы, имеющие размерность силы. Это следует, впрочем, сразу и из формулы (83).

Удобно ввести в рассмотрение вектор — сумму этих двух векторов с учетом их знаков:

Вектор называют дополнительной силой. Он возникает лишь благодаря «уходу» частиц из рассматриваемой системы или «приходу» новых частиц в эту систему и по величине и направлению определяется формулой (85). С учетом (85) равенство (83) можно переписать так:

Соотношение (86) верно как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, так как при его выводе производился лишь подсчет количеств движения.

Если система отсчета инерциальна, то к системе 2 применимы теоремы, доказанные в §§ 2—4 этой главы, и

поэтому в инерциальной системе отсчета

Теперь теорему об изменении количества движения для системы переменного состава можно сформулировать так: в инерциальной системе отсчета производная по времени от вектора количества движения системы постоянного (но переменного состава) равна главному вектору внешних сил и дополнительной силы, определяемой формулой (85).

Аналогично, в неинерциальной системе отсчета

(88)

Вернемся теперь к инерциальной системе отсчета и введем понятие о стационарном потоке материи через объем W. Будем говорить, что поток материи является стационарным, если количество движения в любом элементарном объеме внутри W зависит только от его положения внутри этого объема и не меняется со временем.

Это условие относится не только к внутренним точкам объема, но и к точкам, принадлежащим его внешней оболочке, т. е. одинаковые частицы материи, выходя из объема или входя в него, приобретают в одних и тех же местах оболочки одинаковые скорости. Если в этом случае осуществляется поток через объем W частиц одинаковой массы, например если протекает жидкость одинаковой плотности, то вектор оказывается неизменным во времени. Поэтому для стационарного потока и формула (87) принимает вид

Обратимся теперь к главному вектору внешних сил . Будем различать главный вектор объемных сил , т. е. сил, действующих на находящиеся внутри объема W точки и обусловленных воздействием материи, расположенной вне этого объема (например, через гравитационные, магнитные и т. п. поля), и оболочки сил, обусловленных действием ограничивающей объем W оболочки на частицы материи, находящиеся внутри объема и непосредственно примыкающие к этой оболочке, в тех случаях, когда оболочка не является абсолютно проницаемой. Таким образом,

(90)

В силу третьего закона Ньютона при наличии сил, действующих со стороны оболочки на примыкающие к ней частицы, возникают равные и противоположно направленные силы, действующие со стороны этих частиц на оболочку. Обозначим их главный вектор оболочку; разумеется,

(91)

Подставляя в (89) выражение (90) и учитывая (91), получаем

Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулы Эйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу , которую пришлось Добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения.

Мы можем вернуться теперь к рис. III.18 и объяснить причину разных показаний весов при взвешивании труб различной формы вместе с протекающей через них жидкостью. Рис. III.22 повторяет рис. III.18 с той лишь разницей, что на нем для каждого случая графически построено дополнительное усилие .

Непосредственно видно, что это усилие будет наибольшим на рис. III.18, а, равным нулю на рис. III.18, в, а на рис. III.18, б — отличным от нуля, но меньшим, чем на рис. III.18, а. Ясно поэтому, что весы покажут наибольший «вес» на рис. III.18, а, несколько меньший на рис III.18, б и истинный вес трубы вместе с находящейся в ней жидкостью лишь на рис. III.18, в.

Представим себе теперь объем W произвольной формы. Вещество (например, жидкость) может «втекать» в него и «вытекать» из него так, что скорость «втекающего» и «вытекающего» вещества (например, жидкости) постоянна и равна соответственно (рис. III.23). Подсчитаем, чему равны в этом случае векторы Например, для имеем

Но так как рассматривается случай стационарного потока, когда не изменяется во времени, в формуле (93) можно вынести скорость за знак предела и получить

Коэффициент

называется расходом массы. Совершенно аналогично можно написать

где

Стационарный поток возможен лишь при условии, что суммарный расход массы (поступающей в объем и уходящей из него) равен нулю, ибо в противном случае происходило бы уменьшение или увеличение массы, находящейся внутри объема, а значит, не были бы соблюдены условия стационарности.

Рис. III.22.

Поэтому для стационарного потока и дополнительная сила равна

Учитывая эту формулу, мы могли бы для определения дополнительной силы геометрически сложить векторы (а не векторы ) и затем умножить результат на коэффициент , т. е. на расход массы.

Рис. III.23.

Вернемся к рис. III.21 и вновь рассмотрим вопрос о применении законов механики к системе переменного состава, но постоянного объема, имея теперь в виду не теорему об изменении количества движения, а теорему об изменении кинетического момента. Дословно повторяя рассуждения, которыэ привели нас к формулам (86) и (87), но рассматривая для системы и W не векторы количества движения, а векторы кинетического момента, подсчитанного относительно какого-либо полюса О (например, относительно начала координат), получаем вместо формул (86) и (87) соответственно формулы

и

(101)

Здесь

а и определяются подобно тому, как ранее (см. формулу ) были определены векторы , только вместо расхода и прихода количества движения теперь рассматривается расход и приход кинетического момента соответственно:

Таким образом, для того чтобы применить теорему об изменении кинетического момента относительно какого-либо полюса к системе переменного состава, но постоянного объема, надо к моменту внешних сил относительно того же полюса прибавить дополнительный момент (102).

В случае стационарного протока жидкости вместо формулы (92) совершенно аналогично получаем выражение для момента сил, действующих на оболочку объема ,

где — главный момент объемных («полевых») сил, действующих на точки, расположенные в .

Для неинерциальных систем отсчета вместо формулы (101) имеем

Рассмотрим теперь пример использования этого соотношения при подвижном объеме W. При этом мы выберем систему отсчета жестко связанную с оболочкой объема , вообще говоря, неинерциальную). В этой системе оболочка W неподвижна и, следовательно, в выражениях для и будут фигурировать относительные скорости (скорости относительно системы отсчета жестко связанной с оболочкой ).

Пример. Рассмотрим ротор турбины (рис. III.19), вращающийся относительно оси. В условиях стацинарного протока и равенство (107) принимает вид

В качестве неинерциальной системы, для которой выписывается это равенство, рассмотрим вращающуюся систему, связанную с ротором турбины, и подсчитаем . Этот момент складывается из двух моментов, порождаемых осестремительным и вращательным ускорениями соответственно.

Осестремительное ускорение в каждой точке проходит через О, и поэтому главный момент соответствующих составляющих переносных сил инерции равен случае вращения вокруг оси главный момент тангенциальных сил инерции относительно оси равен , где — момент инерции ротора вместе с заполняющей его жидкостью относительно оси вращениях).

Проектируя теперь равенство (108) на направление оси ротора, получаем

где — момент относительно оси ротора.

Если мал, например если относительная скорость жидкости невелика, то формула (109) принимает вид

где дополнительный момент подсчитывается в принятой неинерциальной системе, т. е. при выборе в качестве скоростей жидкости относительно ротора.

Таким образом, Дополнительный момент, возникающий за счет протока жидкости через межлопаточные пространства турбины, вызывает ускорение ротора и в том случае, когда . При равномерном вращении и равенство

определяет момент, которым нагружен ротор турбины.

Подсчитаем дополнительный момент Мдоп, возникающий за счет протока жидкости через объем W. С этой целью найдем и . Кинетические моменты частиц материи, входящих в этот объем и выходящих из него, соответственно равны

В связи с тем, что радиусы-векторы и скорости и постоянны, получаем

Предположим теперь, что скорость жидкости на входе в объем W между двумя лопатками ротора постоянна по величине, одинакова вдоль всего входного сечения и составляет угол с радиусом-вектором, проведенным к середине входного сечения (рис. III.24). Аналогично скорость на выходе из объема W равна , одинакова вдоль всего выходного сечения и составляет угол с радиусом-вектором, проведенным к середине выходного сечения.

Рис. III.24.

Векторы всех моментов направлены по одной и той же прямой, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. III.19) и проходящей через точку О. Поэтому можно рассматривать лишь скалярные величины с учетом знаков; тогда

Для стационарного потока , и поэтому модуль дополнительного момента равен

(110)

Пусть теперь ротор турбины с произвольным числом лопаток заторможен, и пусть суммарное пространство между всеми лопатками составляет объем W. Если поток стационарен, скорости и во всех межлопаточных пространствах одинаковы по модулю и для всех межлопаточных пространств углы одинаковы, то формула (110) с обратным знаком определяет дополнительный тормозящий момент, который должен быть приложен сверх момента . Для того чтобы удержать ротор турбины от вращения. Этот момент, добавленный к Мообъем. определяет угловое ускорение ротора. Формула (110) была получена Эйлером и называется турбинной формулой Эйлера.

2. Реактивное движение. Рассмотрим объем W, движущийся поступательно относительно инерциальной системы так, что траектории всех его точек являются прямыми, и снова будем считать проток стационарным. Пусть главный вектор внешних сил и скорости притока и оттока вещества направлены вдоль траектории движения (рис. III.25). Неинерциальную систему координат закрепим на оболочке объема W, так что в этой системе W неподвижен. Поэтому в системе W верно соотношение (88). В рассматриваемом случае (подвижная система движется поступательно), , где — ускорение движения объема W относительно инерциальной системы . Поскольку в силу стационарности процесса , формула (106) принимает вид

(в действительности здесь фигурируют скалярные величины, ибо по условию направлены по одной прямой — траектории движения).

рис. III.25

В формуле (III) М — масса, заключенная в объеме W, — постоянна по условию стационарности потока, а дополнительная сила равна

где скорости берутся по отношению к системе отсчета, связанной с объемом .

Таким образом, в прямолинейном поступательном движении оболочка W, через которую осуществляется стационарный проток вещества, движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе вещества в объем W и на которую помимо приложенных сил действовала бы еще дополнительная сила .

В заключение этого параграфа рассмотрим движение ракеты на активном прямолинейном участке траектории (рис. III.26). В качестве объема W рассмотрим объем, ограниченный внешней оболочкой корпуса ракеты и срезом сопла. Предположим, что процесс горения топлива протекает достаточно медленно и что поэтому на интересующем нас интервале времени скорость движения центра инерции масс, расположенных внутри ракеты, относительно ее корпуса пренебрежимо мала по сравнению со скоростью самой ракеты. Рассматривая разгон ракеты на прямолинейном активном участке траектории, пренебрежем вращением ракеты относительно собственных осей, т. е. предположим, что ракета движется поступательно.

Рис. III.26

Условия внутри корпуса ракеты заведомо нестационарны хотя бы потому, что для ракеты и, следовательно, . Однако в интервале времени, малом по сравнению с периодом сгорания всего топлива, можно считать условия внутри ракеты мало отличающимися от стационарных (это утверждение называют «гипотезой квазистационарности»). Приняв эту гипотезу, можно воспользоваться формулой (111). Для ракеты

где — скорость газов, вылетающих из сопла, относительно корпуса ракеты, а , так что

Это уравнение называется уравнением Мещерского. Оно описывает поступательное движение ракеты на прямолинейном активном участке траектории.

Если разгон ракеты происходит в условиях, когда можно пренебречь воздействием на нее внешних сил (например, вдали от каких-либо центров тяготения и вне атмосферных оболочек), и если , то формулу (112) можно переписать так:

(знак минус стоит здесь потому, что при разгоне ракеты скорости и направлены противоположно).

В этом уравнении переменные разделяются: , и, проинтегрировав обе части этого равенства от значения переменных в некоторый начальный момент до их значения в конечный момент, когда заканчивается горение топлива, мы получим

или

Формула (113) называется формулой Циолковского.