§ 4. Линейное приближение уравнений, описывающих движения вблизи положения равновесия

Далее в этой главе будут изучаться некоторые особенности движений стационарных систем, происходящих вблизи положения равновесия.

Пусть — исследуемое положение равновесия. Переместим начало координат в точку q), т. е. будем считать, что и что — отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в -мерном фазовом пространстве q, Q положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю.

Исследуя движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия, мы будем считать, что во время таких движений все — малые величины одного и то же порядка малости. Ограничимся в уравнениях лишь малыми первого порядка и пренебрежем малыми второго и более высоких порядков.

Будем предполагать, что в уравнениях Лагранжа, описывающих движение

все непотенциальные части обобщенных сил являются функциями только q и и не зависят явно от .

Чтобы сохранить в этих уравнениях лишь малые первого порядка, разложим функции Т, V и в ряды по всем независимым переменным q и и ограничимся в разложениях Т и V малыми второго порядка, а в разложении — малыми первого порядка.

В рассматриваемом стационарном случае

и чтобы сохранить в разложении Т лишь малые второго порядка, надо разложить в ряды коэффициенты и ограничиться в этих разложениях «нулевыми» членами, не содержащими множителей т. е. положить

Обозначим полученные так величины через тогда

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

называется матрицей положительно определенной квадратичной формы, или просто положительно определенной матрицей.

Обратимся теперь к выражению для обобщенной силы

и разложим это выражение в ряд

где многоточием заменены остальные (нелинейные) члены разложения. Величина, стоящая в первой квадратной скобке, равна нулю, так как она равна значению обобщенной силы в положении равновесия

Введем обозначения

Пренебрегая в разложении (12) нелинейными членами и используя только что введенные обозначения, получаем

Подставим теперь в уравнения Лагранжа (10) выражения (11) и (13) для Т и соответственно:

В векторно-матричной записи эта система уравнений имеет вид

здесь — квадратные матрицы, составленные из элементов соответственно, a q является -мерным вектором-столбцом, составленным из обобщенных координат.

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или ) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими линейными уравнениями.

Границы этой области зависят от отброшенных нами членов высшего порядка в разложениях функций Т, V и . В частных случаях может оказаться, что эта область весьма велика, например, заведомо охватывает все возможные движения системы.

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение системы уравнений (15) имеет вид

где корни уравнения

которое называется характеристическим уравнением линейного приближения. Каждый элемент этого определителя порядка является квадратичным полиномом относительно ; поэтому левая часть характеристического уравнения линейного приближения — характеристический полином — представляет собой полином степени .

Уравнения (15) отличаются от общего случая системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только тем, что матрица А не произвольна, а всегда является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

Выделим теперь два частных случая, когда уравнения (15) принимают более специальный вид.

Консервативная система. В случае консервативной системы , поэтому все и уравнения линейного приближения (15) сводятся к виду

Характеристическое уравнение (16) соответственно имеет вид

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми.

Диссипативная система. Пусть теперь , но зависят лишь от обобщенных скоростей. В этом случае вблизи положения равновесия

и

Разумеется, система является диссипативной не всегда, т. е. не при любом выборе чисел . Найдем условия, которым должны удовлетворять числа Для того, чтобы система была диссипативной. С этой целью введем квадратичную форму

тогда

Функция R называется функцией Релея.

Если рассматриваемая система диссипативна, то

где — мощность непотенциальных сил (см. § 3 гл. IV).

Но в силу (20) и теоремы Эйлера об однородных функциях

и из условия следует, что , если хоть одна обобщенная скорость отлична от нуля.

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения

будут матрицами положительно определенных квадратичных форм.