§ 7. Поддержание регулярной прецессии относительно произвольной оси при движении симметричного твердого тела с неподвижной точкой

Мы видели выше, что движение симметричного тела с неподвижной точкой по инерции всегда является регулярной прецессией относительно направления кинетического момента. Представим себе теперь, что симметричное тело имеет неподвижную точку (за ось , как и ранее, выбрана ось симметрии) и что задана какая-либо неподвижная прямая, проходящая через неподвижную точку и уже не совпадающая с переменным в общем случае направлением вектора Ко кинетического момента. Направим вдоль этой прямой ось z неподвижной в пространстве системы x, у, z. Найдем условия, при которых тело совершает регулярную прецессию относительно оси z с заданными — угловой скоростью собственного вращения, — угловой скоростью прецессии и — углом нутации (рис. V.13). Разумеется, таким движением уже не может быть движение по инерции, так как ось прецессии не совпадает теперь с направлением кинетического момента, и следовательно, для того чтобы подобного рода регулярная прецессия могла быть реализована, к телу должны быть приложены внешние силы.

Задача состоит в том, чтобы определить, каким должен быть — главный момент приложенных сил относительно неподвижной точки О, чтобы осуществлялось заданное движение.

При регулярной прецессии , и постоянны; поэтому модуль угловой скорости не меняется, вектор угловой скорости всегда лежит в плоскости, проходящей через заданные направления (ось прецессии z и ось симметрии тела ), и углы между направлением и указанными двумя осями z и также остаются постоянными.

Проведем через ось и ось z плоскость П (рис. V.14). Пусть эта плоскость пересекает плоскость по прямой R. Угол между осями и z, по условию задачи заданный и постоянный, как и ранее, обозначим через . Поскольку постоянны, модуль вектора и угол между направлением и осью будут сохранять постоянное значение.

Рис. V.13.

Рис. V.14.

Как и в случае движения по инерции симметричного тела, не только вектор , но и вектор лежит в плоскости П. Это доказывается так же, как и при рассмотрении случая Эйлера для симметричного тела, поскольку при доказательстве этого факта мы опирались только на симметрию тела и не использовали того, что движение происходит по инерции.

Проекции вектора на направления и R, равные r и соответственно, постоянны, поскольку постоянны и угол между и осью . Значит, постоянны и проекции на направления и R, равные Следовательно, ни модуль , ни углы между и направлением не меняются. Отсюда сразу следует, что вектор . все время лежащий в плоскости П, неподвижен в ней. Но вся эта плоскость по условию заданной прецессии вращается вокруг направления z с угловой скоростью .

Поэтому скорость конца вектора , равная, как всегда, производной от вектора по времени, представится векторным произведением , таким образом,

Для того чтобы вычислить это векторное произведение, введем систему координат с осями , R и N (N — прямая, перпендикулярная плоскости П, см. рис. V.14). Это — главные оси инерции, поскольку эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Пусть и — орты осей N, R и соответственно; тогда

Подсчитаем проекции векторов и на оси :

В двух последних равенствах и r можно выразить через и , так как

следовательно,

Подставляя выражения в формулу (80), получаем

Поскольку , это равенство можно записать так:

Формула (87) называется основной формулой гироскопии.

В частном случае, когда угловая скорость собственного вращения значительно больше угловой скорости прецессии, т. е. можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках и приближенно переписать эту формулу так:

Формула (88) называется приближенной формулой гироскопии.

В силу этой формулы момент, который нужно приложить для того, чтобы поддержать прецессию, по направлению определяется векторным произведением заданных угловых скоростей, а по величине отличается от модуля этого векторного произведения лишь постоянным множителем, равным моменту инерции тела относительно оси симметрии.

Рассмотрим теперь ось, на которой закреплено симметричное тело, например маховик, вращающийся с достаточно большой угловой скоростью . Ось закреплена на шарнире, являющемся, таким образом, неподвижной точкой для тела, состоящего из оси и закрепленного на ней маховика (рис. V.15). Предположим, что к противоположному концу оси в плоскости рисунка приложена сила F, стремящаяся повернуть ось с вращающимся на ней маховиком, т. е. сила, обусловливающая момент М, направленный перпендикулярно рисунку «от нас». Тогда легко видеть, что для того чтобы выполнялось равенство (88), угловая скорость должна быть направлена в плоскости рисунка перпендикулярно направлению оси.

Рис. V.15.

Но это значит, что скорость той точки оси, в которой приложена сила F, направлена не по направлению силы, а перпендикулярно ей, «от нас». Если бы тело не вращалось вокруг оси, то сила F вызвала бы скорость, совпадающую по направлению с силой. Только благодаря тому, что тело вращается с угловой скоростью сила вызывает не движение оси в направлении силы, а прецессию, в результате чего скорость конца оси направлена перпендикулярно силе. Легко видеть, что в любом случае направление скорости конца оси получается поворотом направления силы на 90° по направлению вращения тела. Это правило иногда называют правилом Жуковского.

Оно позволяет легко представить себе направление скорости по отношению к вызвавшей ее силе.

Формула (88) и правило Жуковского легко объясняют поведение раскрученного волчка (рис. V.16). Действительно, пусть симметричный волчок вращается вокруг собственной оси; если пренебречь трением в точке его касания с полом, то единственной действующей на него силой будет сила тяжести, приложенная в центре тяжести. Эта сила направлена в плоскости чертежа вниз, и чтобы выяснить направление скорости точки приложения силы, нужно разложить силу G на две составляющие: вдоль оси симметрии (эта составляющая компенсируется реакцией опоры) и по перпендикуляру к этой оси. В соответствии с правилом Жуковского вторую составляющую надо повернуть на 90° по направлению вращения волчка. Поэтому скорость центра тяжести направлена перпендикулярно плоскости чертежа, например «на нас». Однако, когда ось сдвинется в этом направлении, «чертеж» полностью сохранится, и таким образом, до тех пор, пока продолжается вращение с угловой скоростью , продолжается и вращение оси волчка вокруг вертикального направления с некоторой угловой скоростью .

Рис. V.16.

Такое описание движения тяжелого симметричного волчка носит чисто качественный характер и является приближенным. В действительности в случае Лагранжа регулярная прецессия возникает лишь при вполне определенных начальных условиях. В иных случаях возникает более сложное движение: угловая скорость прецессии не сохраняет постоянного значения, а ось волчка не только прецессирует вокруг вертикали, но и совершает колебания в вертикальной плоскости. Это колебательное движение соответствует изменению угла и называется нутацией.