§ 8. Применение основных теорем механики в неинерциальиых системах отсчета

Основные теоремы механики были доказаны в §§ 2-4 этой главы в предположении, что исследуемая динамическая система удовлетворяет условиям , указанным в конце предыдущей главы.

В этом параграфе мы откажемся от условия 1° (об инерциальности системы отсчета), а в следующем — от условия 2° (о постоянстве состава системы), и покажем, каким образом — за счет введения дополнительных сил — удается, несмотря на это, применять основные теоремы.

Рассмотрим систему материальных точек в предположении, что выполняются все условия, о которых шла речь в предыдущей главе, кроме одного: теперь система отсчета, относительно которой рассматривается движение, не является инер-циальной.

Рис III.15.

Выберем инерциальную систему отсчета и рассмотрим неинерциальную систему движущуюся относительно инерциальной (рис. III.15). Рассмотрим далее точку материальной системы с массой . С точки зрения наблюдателя, находящегося в инерциальной системе, и с точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе, точка совершает различные движения. Наблюдатель, находящийся в инерциальной системе, имеет право для изучения движения точки применять законы механики, о которых речь шла выше, в частности второй закон Ньютона

где — ускорение точки относительно инерциальной системы .

Если наблюдатель, находящийся в неинерциальной системе отсчета и считающий, что на точку действует та же самая сила , попытается применить закон Ньютона, то он обнаружит, что закон Ньютона в его системе отсчета не выполняется, т. е. масса, умноженная на ускорение, которое он наблюдает, не равна действующей на точку силе.

Вернемся к рис. III.15. Движение точки можно считать сложным движением: движение точки , относительно инерциальной системы можно рассматривать как абсолютное, движение точки относительно неинерциальной системы — как относительное, а движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета — как переносное.

Тогда в силу общих геометрических свойств сложного движения, изученных в гл. I,

Вспомним, что в качестве ускорения в левой части формулы (70) фигурирует ускорение точки относительно инерциальной системы, т. е. как раз то ускорение, которое теперь, рассматривая движение точки как сложное, мы назвали абсолютным. Подставляя в (70) выражение (71) для , получаем

Это соотношение можно переписать так:

Формулу (72) можно трактовать как запись закона Ньютона применительно к неинерциальной системе отсчета. В правой части этой формулы к силе, действующей на точку, добавляются еще два члена — они появляются в результате наличия переносного и кориолисова ускорений. Обозначая эти члены с учетом их знаков соответственно и , получаем

Векторы, которые появились в правой части формулы (73), имеют размерность силы и называются силами инерции: вектор называется переносной силой инерции, а вектор — кориолисовой силой инерции. Переносная и кориолисова силы инерции получаются соответственно умножением переносного и кориолисова ускорения на массу точки . Направление сил инерции противоположно направлению соответствующих ускорений.

Мы установили таким образом, что второй закон Ньютона может быть применен и в неинерциальной системе отсчета, если к силам, действующим на каждую точку, добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Вспомним теперь, что при выводе всех основных теорем механики в §§ 2—4 этой главы мы опирались лишь на второй закон Ньютона. Следовательно, все теоремы механики, сформулированные нами mute, будут верны и в неинерциальных системах отсчета, если к силам, действующим на точки системы, добавить переносные и кориолисовы силы инерции. Если силы делятся на внешние и внутренние, то силы инерции относятся к внешним силам.

Так, например, теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента в неинерциальной системе отсчета можно записать так:

где — главные векторы переносных и соответственно кориолисовых сил инерции всех точек системы, — главные моменты этих сил относительно полюса .

Главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции легко определить, если известны переносное и кориолисово ускорения центра инерции системы. Действительно,

и аналогично

Таким образом, главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции системы равны соответственно переносной и кориолисовой силе инерции, которые следовало бы приложить к материальной точке массы если бы эта точка находилась в центре инерции системы и двигалась вместе с ним.

Теорема об изменении кинетической энергии записывается в неинерциальной системе отсчета внешне совершенно так же, как и в неинерциальной,

где — работа всех приложенных сил на элементарных перемещениях относительно неинерциальной системы отсчета, т. е. на относительных перемещениях. При подсчете надо учитывать элементарную работу не только сил, действующих на точки системы (внешних и внутренних), но и работу переносных сил инерции.

Работа кориолисовых сил инерции равна нулю, так как кориолисова сила инерции всегда ортогональна относительному перемещению. В самом деле,

Из формул (74), (75) и (78) следует, что законы сохранения, сформулированные в §§ 2—4 этой главы, могут быть сформулированы и в неинерциальных системах отсчета, однако при иных условиях, чем это имело место в инерциальных системах. Так, например, в инерциальных системах закон сохранения количества движения или кинетического момента имел место в тех случаях, когда главный вектор или соответственно главный момент внешних сил был равен нулю, в частности, в замкнутой системе, на которую по определению не действуют внешиие силы. Иначе обстоит дело в неинерциальных системах отсчета. Даже для замкнутой системы в неинерциальной системе отсчета, вообще говоря, не выполняются законы сохранения количества движения и кинетического момента. Для того чтобы количество движения и кинетический момент не изменялись в неинерциальных системах отсчета, нужно, чтобы были равны нулю главный вектор (или соответственно главный момент), составленный совместно для внешних сил и сил инерции. Ясно, что это может иметь место лишь при специальных условиях. Поэтому случаи, когда к неинерциальным системам можно применять законы сохранения количества движения и кинетического момента, значительно более редки и носят частный характер.

В связи с последним замечанием особый интерес представляет центральная система, которая движется поступательно относительно инерциальной так, что в любой момент t скорость (ускорение) всех ее точек совпадает со скоростью (ускорением) центра инерции рассматриваемой системы материальных точек. В центральной системе кориолисовых сил инерции нет (так как переносное движение поступательно и , и для связанного с ней наблюдателя центр инерции рассматриваемой системы материальных точек неподвижен . Поэтому для такого наблюдателя из формулы следует, что в центральной системе всегда (т. е. не только для замкнутых систем, но и при любых внешних силах!): количество движения системы сохраняется равным нулю во время движения. Из теоремы о движении центра инерции

следует, что в центральной системе главный вектор всех сил, приложенных к точкам системы (включая силы инерции), равен нулю. Поэтому в центральной системе как М — главный момент всех сил (включая силы инерции), так и К — кинетический момент не зависят от выбора полюса.

Рассмотрим теперь случай относительного равновесия. Если материальная точка неподвижна относительно неинерциальной системы отсчета, то говорят, что имеет место относительное равновесие. При относительном равновесии

В связи с тем, что , кориолисово ускорение не возникает и главный вектор кориолисовых сил инерции также равен нулю. Из формулы (73) следует тогда условие относительного равновесия

Если бы система была инерциальной, то условием равновесия точки было бы равенство нулю приложенной к ней силы. Мы видим теперь, что в неинерциальных системах отсчета равенство нулю силы, приложенной к точке, еще не определяет равновесия: относительное равновесие достигается только тогда, когда равна нулю сумма действующей на точку силы и переносной силы инерции.