§ 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия (в линейном приближении)

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают Еблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15).

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица является матрицей положительно определенной квадратичной формы. Тогда в уравнениях линейного приближения

Обе матрицы А и С будут положительно определенными, и это обстоятельство позволит упростить получение решений и их анализ.

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования

При этом после приведения все коэффициенты положительно определенной формы будут равны единице, а коэффициенты второй формы — действительным числам

(47)

Матрица этого преобразования и числа которые получаются в результате, определяются методами линейной алгебры. Эти n чисел являются корнями алгебраического уравнения степени

Уравнение (48) называется вековым.

Все корни векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45).

Координаты также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для каждой консервативной системы можно выбрать (и притом единственным образом) главные обобщенные координаты.

Приняв за обобщенные координаты главные координаты и получив поэтому T и V в виде (46) и (47), подставим лагранжиан

в уравнения Лагранжа.

После выполнения предписываемых этими уравнениями операций частного и полного дифференцирования получаем

— систему из n независимых уравнений, описывающих порознь изменение каждой из главных координат .

Интегралы уравнений (50) имеют вид

Сравним теперь вековое уравнение

с характеристическим уравнением этой же консервативной системы

Они переходят одно в другое при , поэтому

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так:

тогда

и

Поэтому уравнение (51) можно переписать в виде

Числа о, называются собственными частотами изучаемой консервативной системы. Буквами , в выражении (52) обозначены произвольные постоянные, которые обычным образом определяются через начальные условия.

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия (соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот.

Подставляя выражение (52) в формулу преобразования (45), находим закон движения в исходных обобщенных координатах:

Отсюда сразу следует, что функции для всех , вообще говоря, получаются суперпозицией n гармонических колебаний с собственными частотами .

Эти гармонические колебания

называются главными колебаниями системы. Можно выбрать начальные данные так, чтобы среди n чисел только какое-либо одно, например , было отлично от нуля. В этом случае

т. е. в системе реализуется главное колебание. Наоборот, ни при каких начальных данных в системе не может быть реализовано гармоническое колебание, частота которого не являлась бы одной из собственных частот. Поэтому если каким-либо образом удается указать начальные данные, при которых в системе реализуется некоторое гармоническое колебание, то расчет системы при этих начальных данных позволяет определить одну из собственных частот. Этот прием иногда позволяет найти все собственные частоты системы.

В качестве примера рассмотрим малые колебания двух одинаковых плоских маятников, связанных пружиной (рис. VI. 11, а). Интуитивно ясно, что если отклонить маятники на один и тот же угол а и отпустить их затем с нулевыми начальными скоростями (рис. VI.11, б), то во время колебаний длина пружины меняться не будет, и, следовательно, маятники будут колебаться одинаково, так, как они колебались бы, если бы не были связаны пружиной. Отсюда сразу следует, что одной из собственных частот этой системы является собственная частота одного из маятников при отсутствии пружины.

Интуитивно ясно также, что если отклонить маятники на одинаковые углы в противоположные стороны (рис. VI. 11, в), то колебания маятников также будут гармоническими. Они противоположны по фазе, но совпадают по амплитуде и частоте.

Средняя точка пружины при этом останется неподвижной. Поэтому вторая собственная частота системы будет равна собственной частоте, которую имел бы один из маятников при наличии пружины половинной длины с закрепленным вторым концом, т. е. пружины, жесткость которой равна удвоенной жесткости истинной пружины, связывающей маятники.

Рис. VI.11.

Система, изображенная на рис. VI.11, имеет две степени свободы; мы нашли два главных колебания, возможных в этой системе, т. е. все ее главные колебания.

Вернемся к уравнениям (53), т. е. к колебаниям консервативной системы с n степенями свободы.

Амплитуды суммируемых главных колебаний зависят от множителей . Матрица преобразования (45) к главным координатам, составленная из этих множителей,

называется поэтому амплитудной матрицей (или матрицей амплитудных векторов). Для каждого набора начальных данных определяются значения произвольных постоянных . Числа определяют сдвиги фаз между гармоническими колебаниями, соответствующими отдельным собственным частотам, — эти сдвиги фаз одинаковы у всех обобщенных координат системы . Амплитуды каждого из этих гармонических колебаний, разные у разных координат определяются элементами амплитудной матрицы.

Какая-либо функция может не содержать главного колебания с какой-либо собственной частотой (и притом при любых начальных условиях), если . Даже если все элементы амплитудной матрицы отличны от нуля, все же может случиться, что главное колебание с собственной частотой со, отсутствует в выражении для координаты, но это может быть лишь при условии, что , т. е. при некоторых специальных начальных данных.

И в таких случаях главных колебаний с частотой не происходит.

В связи с тем, что изученные выше движения консервативных систем происходят в малой окрестности положений устойчивого равновесия, их часто называют малыми колебаниями консервативных систем.

В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание об амплитудных векторах (векторах-столбцах матрицы ). В силу того, что преобразование (45) неособенное, амплитудные векторы линейно независимы. Более того, если — два различных амплитудных вектора (), то можно показать, что их «скалярное произведение с весами

равно нулю. В этом выражении — коэффициенты в выражении для кинетической энергии

В этом смысле амплитудные векторы «ортогональны».