§ 2. Основные пространства

Назовем координатным пространством -мерное пространство, каждая точка которого определяется заданием n чисел — обобщенных координат . По определению эти координаты независимы и любой их выбор не противоречит механическим связям (если таковые наложены на систему). Поэтому положение системы может быть представлено любой точкой координатного пространства.

При движении системы значения обобщенных координат меняются во времени, и точка, определяемая в каждый момент функциями , описывает в координатном пространстве соответствующую траекторию.

Порядок системы уравнений Лагранжа равен , и чтобы задать движение, надо задать начальных данных, т. е. надо знать одновременные значения величин — обобщенных координат и обобщенных скоростей . Поэтому задание точки координатного пространства еще не определяет движения. В этом смысле через каждую точку координатного пространства проходит бесконечное количество траекторий — соответствующие им движения в рассматриваемой точке отличаются величинами обобщенных скоростей. В ряде случаев удобнее поэтому рассматривать движение в пространстве, каждая точка которого определяется заданием чисел: n обобщенных координат и n обобщенных скоростей . Такое -мерное пространство называется фазовым.

В фазовом пространстве выбор точки задает полную систему начальных данных. Поэтому выбор точки фазового пространства (за исключением особых точек — о них речь будет идти далее) полностью определяет движение. Траектории, соответствующие движениям в фазовом пространстве, нигде (кроме особых точек) не пересекаются.

В гл. IV было показано, что система уравнений Лагранжа всегда может быть разрешена относительно старших производных и в стационарном случае сводится к виду

Введя новые координаты , можно записать систему уравнений Лагранжа в виде

Уравнения фазовых траекторий получаются исключением из этих уравнений например, разделив первых уравнений этой системы на последнее уравнение мы получим

Особыми точками фазового пространства называются точки, в которых правые части этих уравнений становятся неопределенными (вида 0/0), т. е.

В нестационарном случае правые части уравнений Лагранжа зависят также и от времени. Для таких систем фазовое пространство менее удобно, ибо теперь уже нельзя столь просто исключить t и вместо уравнений движения выписать уравнения фазовых траекторий, не содержащие явно время t. В таких случаях удобно дополнить рассматриваемые пространства осью t.

Пространство, имеющее измерение и задаваемое координатами , называется расширенным координатным пространством, а -мерное пространство с координатами — расширенным фазовым пространством.