§ 10. Движения в стационарном потенциальном поле (консервативные и обобщенно консервативные системы)

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономные связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамильтониан в этом случае назвали обобщенной энергией.

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые особенности, которые возникают при изучении движения в стационарных потенциальных полях, т. е. при движении консервативных и обобщенно консервативных систем.

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана; после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии); далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения.

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. § 3 этой главы), что в системе, имеющей r циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2r и независимо выписать r квадратур.

Ранее мы неоднократно обращали внимание читателя на то, что H (соответственно Е) играет роль «импульса для координаты . Естественно возникает мысль, нельзя ли и в. случае консервативной системы использовать имеющийся первый интеграл для того, чтобы понизить порядок системы уравнений не на единицу, а на два, и ввести независимую квадратуру.

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лагранжиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, . В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру.

1. Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем.

В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (обобщенной энергией) системы, не изменяется во времени движения и равен своему начальному значению, полностью определенному начальными данными,

(136)

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и p. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, p, t может быть выделено «изоэнергетическое подпространство», соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом «изоэнергетическом подпространстве». Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид

где, как и ранее, равенство контурлого интеграла константе надо понимать в смысле независимости этого интеграла от выбора контура, охватывающего трубку прямых путей. Но теперь

Последний контурный интеграл равен нулю как контурный интеграл от полного дифференциала, поэтому

и интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных и обобщенно консервативных систем записывается так:

(137)

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре, — ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости , а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей.

Обратимся теперь к равенству (136) и подобно тому, как мы уже делали в § 7, разрешим это равенство относительно какого-либо обобщенного импульса, например относительно

Используя это обозначение, можно придать инварианту (137) форму, подобную обычной форме интегрального инварианта Пуанкаре—Картана для неконсервативных систем:

(139)

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального инварианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях: во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до n, а от двух до n; во-вторых, вместо гамильтониана H в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса (см. выражение ); в-третьих, роль t играет теперь . Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре—Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отношениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана: роль функции H играет функция К, вместо t стоит <7, и меняется не от 1 до n, а от 2 до n. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы.

Введем для консервативных и обобщенно консервативных систем удобный аналог функции Лагранжа. Эта функция должна быть связана с функцией К таким же образом, каким обычная функция Лагранжа L связана с гамильтонианом H.

По аналогии с обычной формулой

введем функцию P:

Введенная так функция P

называется функцией Якоби. В общем случае из уравнений Гамильтона сразу следуют уравнения Лагранжа с лагранжианом L, который связан с H соотношением (141); число таких уравнений Лагранжа равно n. Совершенно аналогично из полученных теперь для консервативных и обобщенно консервативных систем уравнений (140) следует система уравнений

Эти уравнения называются уравнениями Якоби. Легко видеть, что каждое из уравнений Якоби имеет второй порядок, что общий порядок системы уравнений Якоби равен и что подобно уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, при обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными.

Предположим теперь, что удалось решить систему уравнений Уиттекера или Якоби. Это значит, что удалось найти все как функции и такого числа произвольных постоянных, каков порядок системы, т. е. Кроме того, эти решения будут, разумеется, содержать начальную энергию h, которая с самого начала входит в выражение для К (либо для P). Таким образом, мы определим

Для того чтобы выразить эти координаты и импульсы явно через время, подставим значения (144) в выражение (138) и найдем, таким образом, как функцию и тех же констант:

Воспользуемся теперь первым из канонических уравнений Гамильтона — уравнением для .

Правая часть этого равенства является функцией всех фазовых координат системы q, p. Заменим здесь выражениями (144) и (145). В результате правая часть равенства (146) будет представлять собой функцию только от и от указанных выше констант:

и в полученном так уравнении переменные разделяются; следовательно, время можно ввести с помощью одной квадратуры:

При этом вводится еще одна произвольная постоянная С, так что общее число произвольных постоянных доходит до требуемых .

Таким образом, поставленная задача полностью решена — при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147).

2. Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа.

Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем две точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути . Проведем между этими же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в «изоэнергетическом подпространстве», т. е. таких, что вдоль них тоже . В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону I. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на , и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим подпространством.

Для введенного так функционала W уравнения Якоби являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления (так же, как уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления для действия по Гамильтону). Функционал (148) называется действием по Лагранжу. Из того факта, что уравнения Якоби являются эйлеровыми уравнениями для действия по Лагранжу, сразу следует, что вариация действия по Лагранжу равна нулю на прямом пути:

Утверждение это является аналогом принципа Гамильтона для консервативных систем и носит название вариационного принципа Мопертюи — Лагранжа.

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для P и К и представим функцию Якоби в виде

Но из обычного выражения для гамильтониана следует, что

поэтому

Подставляя это выражение в формулу (148) для действия по Лагранжу, получаем

где означает путь, пройденный точкой системы. Выражение в правой части формулы (151) представляет собой, как легко видеть, работу векторов количеств движений системы на пройденном пути. Поэтому принцип Мопертюи—Лагранжа можно сформулировать так: для натуральной консервативной системы работа векторов количеств движений на прямом пути достигает экстремального значения.

Интересная аналогия усматривается при сопоставлении принципа Мопертюи — Лагранжа для консервативных систем с известным принципом Ферма, устанавливающим путь луча света в неоднородной среде. Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы было минимальным время прохождения луча света через среду

где — «местная» скорость света в каждой точке, a s — его путь. Если для каждой точки среды ввести коэффициент преломления

где с — скорость света в пустоте, то время t прохождения луча света можно записать так:

и принцип Ферма сведется к требованию

Запишем теперь принцип Мопертюи — Лагранжа для материальной точки массы m

Это выражение подобно тому, какое было получено из принципа Ферма; надо только вместо количества движения рассматривать функцию .

3. Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем.

В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция H, не зависящая явно от времени. Поэтому уравнение это принимает вид

Пусть, как и ранее, h — начальная энергия. Будем искать решение уравнения (152) в виде

где — константы, так что общее число констант с учетом h равно n. Уравнение (152) после подстановки в него выражения (153) записывается так:

(154)

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных — энергия системы) или обобщенно консервативных (H — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы частными производными искомой функции V по соответствующим координатам.

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q и от n констант, причем последней из этих констант является . Эта функция V должна удовлетворять условию

Подставив полный интеграл V в формулу (153) и воспользовавшись затем обычными формулами (134) метода Гамильтона — Якоби, получим

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения Движения в конечном виде.

При изучении консервативных и обобщенно консервативных систем иногда легко найти полный интеграл уравнения в частных производных (154). Такая возможность возникает в тех случаях, когда гамильтониан имеет специальный вид, допускающий разделение переменных. Будем говорить, что переменные разделяются, если полный интеграл уравнения (154) можно представить в виде

Мы рассмотрим два случая такого рода.

Случай 1. Этот случай имеет место, когда Н представляет собой функцию от n функций , каждая из которых зависит только от «своих» гамильтоновых переменных,

и притом для всех . Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае имеет вид

Положим

тогда из (154) и (157) следует, что . Разрешив систему равенств (159) относительно :

составим функцию

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от n констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду

Но , если , а это условие предполагалось с самого начала. Поэтому неравенство (162) всегда выполняется. Теперь можно сразу выписать конечные выражения, описывающие движение.

Пример. В качестве элементарного примера рассмотрим линейный осциллятор, т. е. точку массы m, движущуюся вдоль оси x (координата q) в упругом поле с коэффициентом упругости с.

В этом случае

т. е. имеет место простейший вариант формулы (157), когда H совпадает с одной из функций , а остальные равны нулю. Уравнение Гамильтона — Якоби записывается так:

равенство (160) дает

и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид

В силу соотношения (153) при

а в силу (134)

где т. е.

и мы получили известный закон движения линейного осциллятора.

Случай 2. Этот случай имеет место тогда, когда гамильтониан (полная или обобщенная энергия) выражается последовательно «функцией от функции», где каждая функция зависит только от предыдущей функции и от «своих» переменных:

где

где в свою очередь

Предполагается, что при всех . Положим

и разрешим эту систему равенств относительно :

Введем в рассмотрение функцию

Непосредственно видно, что эта функция V удовлетворяет уравнению (154), которое в данном случае имеет вид

и что она зависит от n постоянных . Как и в первом случае, легко проверить, что неравенство (155) выполнено. Поэтому функция (163) является полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби и, зная ее, можно Выписать закон движения в конечной форме.

Пример. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки в поле всемирного тяготения. Взяв в качестве обобщенных координат сферические координаты

имеем

и поэтому гамильтониан

имеет как раз ту структуру, о которой идет речь в рассматриваемом случае, причем

Уравнение Гамильтона — Якоби теперь имеет вид

так что

и поэтому функция V такова:

В соответствии с формулами (156) находим

(165)

Всегда можно выбрать координаты так, чтобы начальная скорость лежала в меридиональной плоскости, т. е. чтобы . Но тогда из формулы (164) следует, что , т. е. что и что движение плоское. Полагая , получаем из формулы (165) при

где . Несложные вычисления приводят к равенству

где . Таким образом,

или

где и мы приходим к уравнению конических сечений в полярных координатах . (см. § 7 гл. III).