Глава III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

§ 1. Основные понятия

При обсуждении основных методов классической механики (см. конец предыдущей главы) мы упомянули, в частности, что один из них связан с введением некоторых специальным образом подобранных функций координат и скоростей точек системы и с изучением того, каким образом изменяются эти функции или при каких условиях они сохраняются неизменными. В качестве таких функций мы рассмотрим меры движения, которые были введены в предыдущей главе: скалярную функцию — кинетическую энергию системы и векторную функцию — количество движения (импульс) системы. Рассматривая вектор количества движения естественно рассматривать также и момент этого вектора, т. е. ввести еще одну векторную характеристику, зависящую от координат точек и их скоростей.

Исследование этих функций проводится ниже в такой последовательности. Сначала мы выясним, каким образом меняются и при каких условиях сохраняются векторные характеристики системы — количество движения и момент количества движения, и лишь после этого изучим законы изменения скалярных характеристик системы — кинетической энергии Т и новой скалярной характеристики, которая будет введена далее, — полной энергии Е.

Утверждения, касающиеся законов изменения этих функций, носят название основных теорем классической механики, а утверждения, касающиеся условий, при которых эти функции сохраняются неизменными, называются законами сохранения. Далее в формулировках основных теорем будут использоваться два вектора, которые определяются совокупностью сил, действующих на все точки системы: — главный вектор сил системы и — главный момент сил системы относительно некоторого полюса О.

Если — силы, действующие на точки системы, то их главным вектором называется вектор, равный сумме

Векторы приложены к разным точкам, а вектор —свободный вектор, он может быть построен в любой точке О пространства;

для этого надо приложить к точке О векторы, коллинеарные и равные векторам , и сложить их.

Моментом силы относительно полюса О называется вектор, определяемый векторным произведением

где — радиус-вектор, проведенный из полюса О к точке приложения силы . Модуль момента равен

где — угол между векторами , а — расстояние от О до линии действия силы .

Главным моментом сил, действующих на точки системы, относительно полюса О называется сумма

Главным моментом М, сил, действующих на точки системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента , вычисленного для любой точки О, взятой на оси .

Заметим теперь, что в силу третьего закона Ньютона силы, взаимодействия материальных точек всегда равны, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Поэтому, когда мы их складываем, составляя главный вектор, они взаимно уничтожаются и в выражение главного вектора не входят. Таким образом, главный вектор всех внутренних сил системы всегда равен нулю

и следовательно,

где — внутренняя и внешняя силы, приложенные к точке:

Непосредственно видно, что главный момент сил взаимодействия двух точек системы относительно любого полюса равен нулю (рис. III. 1). В связи с тем, что внутренние силы могут входить только попарно, главный момент внутренних сил системы равен нулю, так что главный момент всех сил системы равен главному моменту только внешних сил:

Рис. III.1.

Условимся всюду далее индекс i относить только к номеру точки в системе материальных точек и при суммировании по всем точкам от 1 до N не делать соответствующего указания у знака суммы. Так, например,

означают далее соответственно

Сделав эти общие замечания, мы можем перейти теперь к основным теоремам механики и к законам сохранения, которые получаются в этой главе сначала при условии, что выполняются исходные предположения механики, изложенные в § 2 гл. II, а затем — что удовлетворяются и дополнительные условия 1° — 3°, сформулированные в конце § 5 гл. II.