§ 5. Применение теории систем скользящих векторов в механике

1. Система сил, приложенных к твердому телу.

В качестве первого примера рассмотрим множество векторов, изображающих систему сил, приложенных к твердому телу.

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывание векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, приложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу.

Отсюда сразу следует, что любая система сил, действующих на тело, может быть либо уравновешена, либо заменена одной силой — равнодействующей, или парой сил, или, наконец, тремя силами, образующими винт. В этом случае винт называется динамой. Условия, при которых имеет место каждый из этих четырех случаев, указаны в приведенной выше табл. IV.

Анализ условий равновесия (8) при возможных частных расположениях сил (см. конец § 4) составляет предмет геометрической (или элементарной) статики. Эти условия позволяют выяснить, находится ли тело в равновесии под действием заданной совокупности сил, либо, наоборот, предполагая равновесие, найти несколько неизвестных скалярных величин (например, проекций сил, координат точек их приложения и т. д.), если число таких неизвестных величин не превышает числа независимых равенств в системе (8).

В таком случае говорят, что задача является статически определимой. Если число неизвестных величин превышает число независимых равенств в системе (8), то задача статически неопределима. Решение статически неопределимых задач иногда возможно, если отказаться от гипотезы твердого тела и учесть его деформации, но тогда уже нельзя отбрасывать векторные нули, нельзя считать силы скользящими векторами, и вопрос о том, можно ли упростить систему сил и каким образом это сделать, должен рассматриваться особо.

2. Система угловых скоростей при движении n систем отсчета.

Рассмотрим n систем отсчета, движущихся одна относительно другой (см. § Б гл. I). Перенумеруем как-либо эти системы (считая неподвижную систему отсчета нулевой) и временно ограничимся случаем, когда каждая из них в рассматриваемый момент совершает относительно предыдущей системы мгновенное вращение с угловой скоростью . Множество векторов составляет систему скользящих векторов. Чтобы показать это, рассмотрим мгновенное вращение двух систем отсчета с угловыми скоростями и , предположив, что векторы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, а их модули равны, так что . Если принять движение с угловой скоростью за переносное, а с угловой скоростью — за относительное, то скорость точки а в абсолютном движении (см. гл. I) будет равна

Поэтому отбрасывание от рассматриваемого множества векторов двух таких векторов, образующих векторный нуль (или добавление двух таких векторов), не изменяет абсолютной скорости любой точки системы относительно нулевой. Эти физические соображения показывают, что в данном случае имеет место соотношение эквивалентности при добавлении и отбрасывании векторных нулей; следовательно, векторы образуют систему скользящих векторов, и к ним полностью относится все, что было установлено выше для такой системы векторов.

Момент вектора относительно полюса О по определению равен

где — радиус-вектор, проведенный из О к любой точке на линии действия вектора (рис. П.25, а); скорость же при мгновенном вращении с угловой скоростью составляет (рис. П.25, б)

где r проводится из любой точки на линии действия вектора юг к точке О.

Если и в этом случае отсчитывать радиус-вектор от точки О (рис. то получаем

Таким образом, при мгновенном вращении линейная скорость точки представляет собой момент вектора угловой скорости относительно этой точки, .

Рис. П.25.

В связи с этим результирующая скорость точки О системы относительно неподвижной,

является главным моментом системы векторов относительно этой точки.

Главный вектор системы

получается формальным переносом всех векторов в одну и ту же точку и их сложением.

Отсюда сразу следует, что скорости для точек системы распределены так, как распределены главные моменты системы скользящих векторов, что, зная скорость какой-либо одной точки, можно найти скорость любой другой точки по теореме о переносе полюса, что минимальную скорость имеют точки центральной оси системы векторов и т. д.

Применяя теперь к системе скользящих векторов теорему 8, сразу заключаем, что любая совокупность вращений может быть сведена к одному из четырех простейших случаев — векторному нулю, равнодействующему вектору, паре векторов и винту. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

а) Сведение к векторному нулю. В этом случае n вращений в совокупности определяют покой система неподвижна относительно неподвижной системы координат х, у, z. Этот случай имеет место при условии, что главный вектор и хотя бы для одной точки .

б) Сведение к одному вектору. Если , но проекция на в какой-либо произвольно выбранной точке равна нулю, то система , заменяется одним вектором , действующим вдоль центральной оси системы , т. е. движение системы отсчета относительно неподвижной x, у, z представляет собой мгновенное вращение с угловой скоростью .

в) Сведение к паре. Если , но в какой-либо точке P, то система векторов , эквивалентна паре угловых скоростей («паре вращений») с моментом система отсчета движется относительно неподвижной поступательно со скоростью .

г) Сведение к винту. В наиболее общем случае, когда главный вектор системы и в какой-либо точке P скорость и не перпендикулярна вектору , система сводится к винту. Это значит, что она эквивалентна вектору, совпадающему с и лежащему на центральной оси, и паре, находящейся в перпендикулярной Я плоскости и имеющей момент, равный проекции на направление Я. В этом случае мгновенное движение системы отсчета относительно неподвижной складывается из поступательного движения вдоль направления центральной оси (т. е. вдоль направления, параллельного ) со скоростью, равной проекции на , и из вращения вокруг центральной оси с угловой скоростью .

Остановимся подробнее на случае в) сведения к паре. Непосредственно видно, что верно и обратное утверждение: если система совершает мгновенное поступательное движение со скоростью V, то его всегда можно заменить сложным движением — парой вращений, если угловые скорости этих вращений выбрать так, чтобы момент пары был равен V.

Теперь мы можем перейти к общему случаю произвольного движения n систем отсчета одна относительно другой. В связи с тем, что любое движение в каждое мгновение может быть представлено как сумма поступательного движения и мгновенного вращения, а поступательное движение само может быть представлено парой вращений, можно ввести промежуточные системы отсчета и заменить произвольное мгновенное движение n систем только мгновенными вращениями m систем одна относительно другой .

Поэтому все, что говорилось выше о сложении мгновенных вращений, относится и к общему случаю, когда мгновенные движения систем отсчета друг относительно друга произвольны.

Таким образом, при любом движении одних систем отсчета относительно других (при сложении любых движений) скорости результирующего движения в любое мгновение могут быть распределены по одному из перечисленных выше четырех простейших законов. Это отнюдь не противоречит тому факту, что движения могут быть весьма сложными и разнообразными — разнообразие движений получается за счет разнообразного изменения распределения скоростей (в пределах перечисленных четырех простейших) при переходе от одного момента времени к другому.