§ 5. Устойчивость равновесия

1. Общие понятия об устойчивости.

Вернемся к рис. VI.1. Хотя точки A и B и все точки «плато» С являются положениями равновесия материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на изображенном на этом рисунке рельефе, интуитивно ясно, что они не равноценны. Если материальная точка помещена в достаточно малую окрестность точки А и имеет достаточно малую начальную скорость, то возникающее затем движение не выведет ее за пределы малой окрестности точки А. Более того, чем ближе к точке А помещена материальная точка в начальный момент и чем меньше ее начальная скорость, тем в меньшей окрестности точки А будет происходить последующее движение.

Иначе обстоит дело для положения В.

Как бы мало ни была отклонена материальная точка из В и как бы мала ни была ее начальная скорость, материальная точка в процессе движения не останется вблизи В и отойдет от нее на конечное расстояние — например, переместится в окрестность точки А.

Несколько сложнее обстоит дело для внутренних точек «плато» С. Если отклонить материальную точку из С так, чтобы она еще осталась на «плато», и не сообщать ей начальной скорости, то материальная точка останется в равновесии в новой точке «плато»; но если сообщить ей начальную скорость, то, как бы ни была мала эта скорость, материальная точка, двигаясь вдоль «плато», выйдет за пределы малой окрестности положения равновесия и сойдет с «плато».

Аналогично обстоит дело и в более сложных случаях: положения равновесия можно классифицировать в зависимости от того, остается или нет система вблизи этого положения после малого возмущения. Положение равновесия называется устойчивым в первом случае и неустойчивым — во втором.

Дадим теперь точные определения.

Положение равновесия называется устойчивым, если для каждого числа найдется такое число , зависящее от , что если начальные отклонения в фазовом пространстве не выходят за пределы -окрестности положения равновесия, т. е.

то при любом 0 система будет находиться в -окрестности положения равновесия, т. е. будут выполняться неравенства

Положение равновесия называется неустойчивым, если найдется такое , что для каждого сколь угодно малого существуют такой момент времени и такие начальные отклонения , лежащие в -окрестности положения равновесия, т. е. удовлетворяющие неравенствам (21), что

или

хотя бы для одного .

В определении устойчивости равновесия речь идет о любой -окрестности, но, разумеется, достаточно убедиться, что неравенства (22) при условии (21) выполнены для любой малой -окрестности. Действительно, если условия (22) выполнены для «малой» -окрестности, то эти же условия заведомо выполнены для «большой» -окрестности. В связи с этим положение равновесия, удовлетворяющее приведенному определению, иногда называют устойчивым по отношению к малым отклонениям или «устойчивым в малом».

В определении никак не оговариваются границы или размеры области начальных отклонений, при которых движение остается в окрестности положения равновесия. С этой точки зрения положение А на рис. VI.1 устойчиво независимо от размеров «лунки» вблизи А, а положения В и С неустойчивы, сколь бы полога ни была кривая вблизи точки В или сколь бы длинно ни было «плато» С.

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при . Между тем интуитивно ясно, что даже в простейшем случае, показанном на рис. VI.1, устойчивость может сопровождаться (например, если учесть наличие сил сопротивления) или не сопровождаться (например, когда нет иных сил, кроме веса) асимптотическим стремлением к равновесию. Чтобы учесть это различие, вводится понятие об асимптотической устойчивости.

Положение равновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, существует такая -окрестность точки что для всех выполняются условия

Если иметь в виду простейший случай, представленный на рис. VI.1, то кажется, что при выполнении условия (23) заведомо имеется и устойчивость, т. е. выполнено условие (22). Вообще говоря, это не так, и может оказаться, что условие (23) выполнено, а условие (22) не выполнено. Так, например, обстоит дело, если после любого начального отклонения будет возникать движение, при котором достигает некоторого конечного значения, скажем, равного 1, в момент , а далее с ростом t монотонно уменьшается до нуля (рис. VI.3). Легко видеть, что при этом условие (23) выполнено, а условие (22) не выполнено. Между тем такое протекание интегральных кривых возможно для систем дифференциальных уравнений, алгебраически разрешенных относительно старших производных, а значит, и для уравнений Лагранжа.

Рис. VI.3.

Обратим внимание читателя на то, что область , о которой шла речь в определении обычной устойчивости, зависит от , а область , о которой идет речь в определении асимптотической устойчивости, от не зависит.

Поэтому для каждого значения существует некоторая область , являющаяся пересечением областей . Движения, начавшиеся в -окрестности начала координат, не только не выходят за пределы -окрестности, но и стремятся к началу координат при .

Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать (а в некоторых случаях и доказать) критерии, позволяющие установить, устойчиво ли положение равновесия. Критерии такого рода мы рассмотрим отдельно для консервативных систем, диссипативных систем и систем общего вида.

2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению.

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид

где — корни характеристического уравнения (16), сразу следует, что для того чтобы положение равновесия системы, которая описывается уравнениями (15), было асимптотически устойчивым, надо, чтобы все действительные были отрицательны, а все комплексно сопряженные имели отрицательные действительные части

т. е. чтобы все точки, изображающие эти корни, были расположены в комплексной плоскости слева от мнимой оси (рис. VI.4).

Непосредственно не ясно, каким образом асимптотическая устойчивость, определяемая линейными уравнениями (15), связана с асимптотической устойчивостью, определяемой истинными исходными нелинейными уравнениями (10). Наличие этой связи устанавливает следующая.

Теорема (Ляпунова).

Рис. VI.4.

Если все корни характеристического уравнения (16) системы дифференциальных уравнений линейного приближения (15) имеют отрицательные действительные части, то положение равновесия исходной системы, описываемой уравнениями (10), асимптотически устойчиво. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (16) имеет положительную действительную часть, то положение равновесия, определяемое системой (10), неустойчиво.

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения, обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса о том, устойчиво ли равновесие в том случае, когда характеристическое уравнение (16) линейного приближения (15) наряду с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответствуют точки, расположенные на самой мнимой оси). Такие случаи называются особыми. В особых случаях равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и вопрос об исследовании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (15) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче: задано характеристическое уравнение (16); требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) Гурвица. Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурвицевыми.

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения.

Из различных критериев, дающих решение задачи Гурвица, мы приведем здесь только сам критерий Гурвица и графический критерий (часто более удобный для практического использования), предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.

Прежде чем сформулировать эти критерии, укажем важный необходимый признак устойчивости. Для этого раскроем определитель в характеристическом уравнении (16), и, собрав подобные члены, представим левую часть уравнения в виде полинома степени

где коэффициенты являются алгебраическими функциями от коэффициентов уравнений линейного приближения (15).

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы характеристический полином (24) был гурвицевым, т. е. имел все корни, расположенные слева от мнимой оси, необходимо (но не ), чтобы все коэффициенты были строго положительными.

Этот необходимый признак устанавливается сразу, если использовать теорему Безу и записать характеристический полином (24) в виде

где — корни характеристического уравнения. (Мы считаем, что если это не так, то характеристический полином надо предварительно умножить на —1.)

Действительно, если подставить в полином (25) в качестве , отрицательные действительные числа или комплексные числа с отрицательной действительной частью и учесть, что последние входят в эти произведения лишь комплексно сопряженными парами (так как коэффициенты полинома — действительные числа), то получится полином, в котором все коэффициенты отличны от нуля и положительны.

Необходимое условие позволяет сразу исключить из рассмотрения полиномы, в которых имеются отрицательные коэффициенты либо пропуск членов, — такие полиномы заведомо не являются гурвицевыми. Приступим теперь к рассмотрению критерия устойчивости в случае, когда это необходимое условие выполнено.

Критерий Гурвица ( форме Льенара — Шипара). Составим из коэффициентов характеристического полинома (24) определитель, носящий название старшего определителя Гурвица:

Старший определитель Гурвица имеет порядок m. Первая строка определителя образована всеми коэффициентами с нечетными индексами, вторая — с четными, а каждая следующая пара строк представляет собой предыдущую пару, сдвинутую на один столбец вправо. Освобождающиеся при этом места, а также места определителя, куда следовало бы вписать коэффициенты с индексом, большим m, заполняются нулями.

Рассмотрим кроме определителя Лет последовательность его главных диагональных миноров, т. е. определителей, которые получаются из последовательным вычеркиванием последнего столбца и последней строки:

Критерий Гурвица (в форме Льенара — Шипара) утверждает следующее: для того чтобы характеристический полином (24) со всеми отличными от нуля и положительными коэффициентами был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности определителей (27) все определители с четными индексами (либо все определители с нечетными индексами) были строго положительными.

Критерий Михайлова. Вернемся теперь к характеристическому полиному (24) и заменим в нем переменное А мнимым переменным :

Собрав действительные и мнимые члены, получим комплексную функцию действительного переменного

Рассмотрим теперь комплексную плоскость, по осям которой отложены значения U и V. Подставляя в функцию (29) последовательно значения со от 0 до , можно по точкам построить годограф этой комплексной функции (см. рис. VI.5, на котором стрелкой указано направление роста ). Если менять от 0 до , то построенный таким образом годограф будет зеркальным отображением относительно действительной оси годографа, построенного для положительных значений . В самом деле, при замене на значение функции (), содержащей только четные степени , не меняется, а функция (), содержащая только нечетные степени , меняет знак. Часть годографа, соответствующая отрицательным значениям , показана на рис. VI.5 штриховой кривой.

Построенный таким образом годограф (для положительных значений ) называется годографом характеристического полинома (24) или годографом Михайлова. Определяемый формулой (29) вектор, конец которого при изменении от 0 до описывает годограф Михайлова (этот вектор показан на рис. VI.5), называется характеристическим вектором.

Рис. VI.5.

Критерий Михайлова утверждает следующее: для того чтобы характеристический полином был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался при на действительной положительной полуоси и чтобы при изменении от 0 до аргумент характеристического вектора монотонно возрастал от нуля до .

При выполнении условий этого критерия годограф Михайлова последовательно проходит первый, второй, третий, четвертый, пятый (т. е. вновь первый) и т. д. квадранты плоскости U, V, уходя в бесконечность в квадранте.

Доказательство критерия Михайлова. Заменив в формуле (25) X на , получим уравнение годографа Михайлова в виде

Рассмотрим один сомножитель и выясним, как меняется его аргумент при изменении от до . На плоскости комплексного переменного корень представляется фиксированной точкой, а — точкой, расположенной на мнимой оси и при изменении от до «пробегающей» эту ось. Сомножитель представляется вектором, отложенным из точки к точке, «пробегающей» мнимую ось (рис. VI.6). Сразу видно, что если точка расположена слева от мнимой оси, то при изменении от до аргумент этого вектора меняется монотонно на я. Если же точка расположена справа от мнимой оси, то аргумент вектора меняется на . Обращаясь к формуле (30) и учитывая, что изменение аргумента произведения равно сумме изменений аргументов сомножителей, заключаем, что общее изменение аргумента характеристического вектора, «вычерчивающего» годограф Михайлова, будет равно , если все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, и будет заведомо меньше, чем , если хотя бы один корень расположен справа от мнимой оси.

Рис. VI.6.

Отсюда следует, что годограф Михайлова будет протекать так, как это предписывается критерием, тогда и только тогда, когда исследуемый характеристический полином является гурвицевым, т. е. когда все его корни расположены слева от мнимой оси.

Пример. Рассмотрим характеристический полином степени и различное возможное протекание годографа Михайлова в этом случае (рис. VI.7).

Рис. VI.7.

Из критерия Михайлова следует, что характеристические полиномы, для которых годограф Михайлова протекает так, как показано в верхней части рисунка, — гурвицевы, а характеристические полиномы, годограф которых протекает так, как это показано в нижней части рисунка, заведомо не являются гурвицевыми.

4. Устойчивость равновесия консервативной системы.

Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет

Теорема (Лагранжа — Дирихле). Если в некотором положении консервативной системы потенциальная энергия, являющаяся непрерывной функцией q, имеет строгий изолированный минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.

Доказательство. Рассмотрйм положение равновесия , в котором потенциальная энергия имеет строгий минимум. Поместим в точку начало координат, т. е. будем считать, что

В связи с тем, что потенциальная энергия V определена с точностью до аддитивной постоянной, распорядимся выбором этой постоянной так, чтобы в данном положении потенциальная энергия обращалась в нуль:

Тогда из определения строгого минимума следует, что в -мерном координатном пространстве существует такая -окрестность начала координат, что если

то

в любой точке окрестности (кроме начала координат, где .

Перейдем теперь к -мерному фазовому пространству Здесь началу координат также соответствует исследуемое состояние равновесия. Рассмотрим в этом пространстве -мерную окрестность начала координат, в которой удовлетворяют условию (32). Во всех точках этой окрестности полная энергия системы положительна, кроме начала координат, где . Это следует из условия (33) и из того факта, что кинетическая энергия обращается в нуль лишь тогда, когда все равны нулю, и когда хотя бы одна из отлична от нуля.

Выберем теперь в фазовом пространстве произвольную -окрестность, целиком лежащую внутри -окрестности и содержащую начало координат в качестве внутренней точки. На границе этой -окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе -окрестности точка, где Е достигает минимума на границе. Пусть этот минимум равен . В связи с тем, что всюду на границе -окрестности во всех точках этой границы

Выберем и определим такую -окрестность, что всюду в ней .

Она заведомо лежит внутри -окрестности (рис. VI.8) и всегда существует в силу непрерывности функции Е и того, что в начале координат и в -окрестности.

Рассмотрим произвольную точку А, принадлежащую этой -окрестности, и примем соответствующие ей значения за начальные:

Обозначим через энергию системы в этой точке. В силу того, что точка А лежит в -окрестности,

Начальным данным (35) соответствует некоторое движение изучаемой системы. Но система консервативна, и поэтому во время движения ее энергия не меняется:

Из неравенства (36) сразу следует, что фазовая траектория, начинающаяся внутри -окрестности, не достигает границ -окрестности, так как на границе -окрестности . Поэтому для любой -окрестности можно указать такую -окрестность, что если начальные данные удовлетворяют неравенствам (35), то при всех удовлетворяются неравенства

Теорема доказана.

Из доказательства видно, что теорема остается справедливой и в том случае, когда система отличается от консервативной наличием гироскопических сил. Действительно, добавление гироскопических сил не меняет ни положения равновесия , ни того факта, что энергия системы сохраняется во время движения. При доказательстве теоремы использовался лишь этот факт безотносительно к тому, по каким причинам он имеет место.

Рис. VI.8.

Теорема Лагранжа определяет лишь достаточный признак устойчивости равновесия консервативной системы: если положению равновесия соответствует строгий минимум функции V(q), то оно устойчиво; однако устойчивыми могут быть положения равновесия, которые не совпадают с точками строгого минимума функции V (q).

Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы до сих пор не найдены. В связи с этим предлагались различные достаточные признаки неустойчивости консервативных систем. Ниже приводятся без доказательства три теоремы, устанавливающие признаки такого рода.

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении в ряд по степеням q, то это положение равновесия неустойчиво.

Вторая теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системы функция имеет строгий максимум и это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов наименьшей степени 2 в разложении в ряд по степеням q, то это положение равновесия неустойчиво.

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия является однородной функцией q и если в положении равновесия она не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво.

Рассмотрим теперь вопрос о «потенциальных ямах» и «потенциальных барьерах», которые могут иметь место при движении системы в потенциальном поле. Эти понятия тесно связаны с тем фактом, что положения равновесия таких систем могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Связь эту удобно продемонстрировать на простейшем примере, представленном на рис. VI.1.

Рассмотрим положение А (рис. VI.1). Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии, и любое движение, начавшееся вблизи точки А, происходит вблизи нее. Если материальная точка первоначально была далеко от А, но двигалась по показанному на рис. VI.1 рельефу и попала в окрестность А с малой скоростью, то она уже не выйдет из этой окрестности. С другой стороны, для того чтобы материальная точка, попавшая в окрестность А, могла выйти из нее, точке должна быть придана энергия, превышающая некоторое пороговое значение. Если с этой целью повышается потенциальная энергия материальной точки при нулевой ее скорости, то материальная точка выйдет из окрестности А только при условии, что ее потенциальная энергия будет доведена до значения, соответствующего ближайшему к ней максимуму потенциального рельефа (точка В). В этом смысле существует потенциальный порог или барьер, который надо преодолеть, чтобы «вырвать» материальную точку из окрестности точки А. Того же можно достигнуть, увеличивая кинетическую энергию материальной точки, но и в этом случае должен быть преодолен энергетический порог — кинетическая энергия должна быть достаточна для того, чтобы материальная точка достигла точки В.

В простейших случаях удается не только установить наличие «потенциального барьера», но и полностью определить границы «потенциальной ямы». Рассмотрим, например, движение материальной точки вдоль прямой в потенциальном поле, зависящем только от положения точки на прямой.

Пусть обобщенная координата — расстояние материальной точки от некоторого фиксированного на прямой начала отсчета. Из условия сохранения полной энергии

где — потенциальная энергия, a h — произвольная постоянная, равная начальной энергии, имеем

Построим график функции и ниже него изобразим фазовую плоскость q, системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком.

Рис. VI.9.

Рис. VI.10.

Зададим поочередно значения и т. д. и проведем горизонтальные прямые на уровне (рис. VI. 10); используя формулу (37), построим фазовую траекторию. Непосредственно видно, что при фазовая траектория замкнута и движение вдоль нее не выходит из окрестности устойчивого равновесия.

Если (например, ), то фазовая траектория не замкнута и такова, что при движении вдоль нее изображающая точка неограниченно удаляется от положения устойчивого равновесия. Траектории этих типов разграничиваются траекторией, которая проходит через точку неустойчивого равновесия и соответствует . Таким образом, и определяет энергетический барьер в этой задаче. В связи с тем, что каждая точка фазовой плоскости задает начальные данные т. е. определяет движение, траектория, соответствующая , выделяет те значения и , при которых движение остается в окрестности равновесия (заштрихованная область на рис. VI.10) и определяет в этой задаче «конфигурацию потенциальной ямы».

Вполне аналогично обстоит дело и в общем случае движения консервативной системы с n степенями свободы. Потенциальная энергия — функция от n переменных пространстве состояний могут быть указаны области, содержащие точки, где V достигает минимума. Эти области образуют «потенциальные ямы»: система, попавшая в эту область с малыми скоростями, не может выйти из нее до тех пор, пока ей не будет придана энергия, достаточная для преодоления «потенциального барьера».

5. Устойчивость равновесия диссипативной системы.

Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил , что

если хотя бы одна производная Выше (см. § 3 гл. IV) было показано, что в стационарном случае , и поэтому для строго диссипативной системы , т. е. во время движения энергия непрерывно убывает.

Достаточные условия устойчивости равновесия строго диссипативных систем определяет.

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво.

Доказательство. При доказательстве теоремы Лагранжа для консервативных систем мы, предполагая лишь, что в рассматриваемой точке функция V имеет строгий минимум и что энергия сохраняется во время движения, установили устойчивость равновесия в этой точке. Это доказательство тем более сохраняется, если считать, что во время движения Е убывает. Поэтому нет необходимости заново доказывать устойчивость равновесия в условиях, когда система не консервативна, а диссипативна; чтобы доказать теорему, надо дополнительно показать лишь, что при условиях этой теоремы существует такая -окрестность начала координат фазового пространства, что движения, начавшиеся в этой окрестности, удовлетворяют условиям

Выберем положительное число а. Если положить , то в силу обычной устойчивости можно по а найти окрестность . На выбор числа наложим лишь одно ограничение: в -окрестности начала координат фазового пространства не содержится иных положений равновесия. Такой выбор числа а всегда возможен, так как по условию теоремы положение равновесия является изолированным.

Докажем теперь, что если выполнены условия теоремы, то в качестве -окрестности может быть выбрана указанная выше -окрестность.

Рассмотрим произвольное движение, начавшееся в -окрестности начала координат фазового пространства и в силу устойчивости равновесия не выходящее за пределы -окрестности. Назовем его движением P.

В процессе движения P в силу условий теоремы сохраняется неравенство т. е. энергия Е монотонно убывает, оставаясь все время положительной. Следовательно, при движении P существует предел

Это предельное значение заведомо неотрицательно. Если , то это означает, что во время движения P как , так и , поскольку в пределах -окрестности только в начале координат в силу предположения теоремы о том, что изучаемому равновесию соответствует изолированный минимум функции .

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что . не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что . Условие выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения , то это означает, что движение P неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка при движении P расположена в -окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени , получаем последовательность точек .

Поскольку последовательность ограничена, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть — указанная подпоследовательность, и пусть

непрерывности функции следует, что , а это значит, что точка лежит на поверхности .

Примем теперь точку за начальную и «выпустим» из нее движение . Так как точки «принадлежат» движению P, движение, начавшееся в , будет совпадать с продолжением движения P. Поэтому значения энергии Е в движениях будут удовлетворять неравенствам

С другой стороны, «выпуская» движение из точки в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени t, для которого . О (здесь ) — значение энергии в движении . Поэтому . Следовательно, значения энергии в движениях и в движении в момент времени I отличаются на конечную величину , несмотря на то, что начальные точки этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение ошибочно. Теорема доказана.

При доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости консервативной системы и только что доказанной теоремы об асимптотической устойчивости диссипативной системы мы нигде не использовали того факта, что функция Е имеет смысл механической энергии системы. При доказательстве теоремы Лагранжа были использованы лишь следующие три свойства функции Е:

1) функция Е положительна во всех точках -окрестности начала координат фазового пространства и обращается в нуль в одной точке — в начале координат;

2) функция Е непрерывна в начале координат;

3) производная по времени от функции Е, вычисленная при любом движении, происходящем в -окрестности, равна нулю всюду в этой окрестности, кроме начала координат.

Условие о том, что в рассматриваемой точке функция имеет строгий минимум, понадобилось нам только для того, чтобы показать, что полная энергия системы удовлетворяет этим условиям и что поэтому ее можно использовать для построения приведенных доказательств.

Доказательства полностью сохранились бы при введении в рассмотрение какой-либо другой функции фазовых координат (обобщенных координат системы и их производных), удовлетворяющей указанным выше трем условиям, хотя уже и не имеющей смысл механической энергии.

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым.

Эта теорема касается систем дифференци альных уравнений общего вида

Уравнения Лагранжа (10) легко сводятся к уравнениям вида (40).

Теорема Ляпунова. Если можно найти такую непрерывную функцию V(x), что

а) она имеет положительные значения в некоторой малой -окрестности начала координат и в ней обращается в нуль лишь в начале координат и

б) полная производная от этой функции по времени, вычисленная в силу уравнений (40), неположительна во всех точках -окрестности начала координат, то исследуемое положение равновесия устойчиво. Если дополнительно известно, что эта производная отрицательна во всех точках -окрестности начала координат и обращается в нуль лишь в самом начале координат, то положение равновесия устойчиво асимптотически.

Доказательство теоремы дословно повторяет доказательство теоремы Лагранжа — Дирихле для консервативной системы (когда утверждается, что производная неположительна) и доказательство теоремы об условиях устойчивости равновесия диссипативной системы (когда утверждается, что производная отрицательна всюду в -окрестности).

Доказанная выше теорема Лагранжа и теорема об условиях устойчивости равновесия для диссипативной системы являются частными случаями этой теоремы, которые получаются, если в качестве функции V взять полную энергию системы.

Условия указанных теорем и обеспечивают как раз то, что полная энергия системы может служить такой функцией V, т. е. удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова. В общем случае функция V, удовлетворяющая этим условиям, называется функцией Ляпунова.

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости.

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравнения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так:

Переменными в этом уравнении являются p, q, r — проекции вектора угловой скорости на оси системы координат, жестко связанной с телом; эти оси выбраны по главным осям инерции тела (см. гл. V), а А, В, С — константы. В гл. V перманентными вращениями были названы движения, которые происходят в одном из следующих трех случаев:

Иначе говоря, перманентными называются вращения, которые происходят с постоянной угловой скоростью вокруг одной из главных осей инерции, проходящих через неподвижную точку.

В качестве примера рассмотрим случай остальные два случая исследуются аналогично.

В обозначениях уравнения (42) принимают вид

Рассмотрим случай, когда А меньше как В, так и С. В качестве функции Ляпунова выберем функцию

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная , вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция У и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1° устойчиво.

Предположив теперь, что А больше, чем В, и больше, чем С, и взяв в качестве функции Ляпунова ту же самую функцию, но заменив у членов, стоящих вне квадратной скобки, знак плюс на минус, вновь приходим к тому же выводу.

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей , соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой средний по величине) неустойчиво.

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно, или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить вопрос о существовании такой функции.

Известны, однако, теоремы, обращающие теорему Ляпунова, т. е. устанавливающие, что во всех случаях, когда имеет место устойчивость, такая функция заведомо существует. Поэтому каждый раз при проверке устойчивости с помощью теоремы Ляпунова возникает творческая задача, которая не может быть решена с помощью какого-либо наперед заданного алгоритма, — найти такую функцию и тем самым установить устойчивость. Разумеется, если это сделать не удалось, то это еще не значит, что равновесие неустойчиво, так как остается открытым вопрос: нельзя ли каким-либо иным способом все же найти функцию Ляпунова для рассматриваемой задачи. В этом смысле использование теоремы Ляпунова — дело опыта и удачи. Однако значение этой теоремы состоит не только в том, что она дает в руки исследователя средство для творческого решения задачи, но и в том, что, опираясь на нее, можно доказать теорему об устойчивости по линейному приближению, о которой речь шла выше.