§ 9. Уравнение Гамильтона—Якоби

В предыдущем параграфе было установлено, каким образом можно заданную систему с некоторым гамильтонианом Я преобразовать в другую систему с наперед заданным гамильтонианом — для этого надо «старый» и «новый» гамильтонианы подставить в уравнение (127), найти из него производящую функцию S и при помощи этой функции определить (так, как это было указано в предыдущем параграфе) преобразование, переводящее систему со «старым» гамильтонианом в систему, имеющую «новый» гамильтониан.

Попробуем воспользоваться теперь этой возможностью, чтобы выработать единый метод, позволяющий заменить систему с некоторым гамильтонианом системой с наиболее простым возможным гамильтонианом, а именно с гамильтонианом, тождественно равным нулю. Если бы это оказалось возможным, то в «новых» переменных движение описывалось бы гамильтоновой системой

т. е. движение в «новых» переменных состояло бы в сохранении неизменными всех обобщенных координат и обобщенных импульсов

(130)

Зная это «Движение в новых переменных», можно было бы при помощи формул (128) найти движение в исходных переменных и, казалось бы, таким образом обойти трудности, связанные с интегрированием канонических дифференциальных уравнений.

Попробуем, однако, реализовать эту программу. При уравнение (127) принимает вид

В этом уравнении «старый» гамильтониан является функцией «старых» гамильтоновых переменных q, p. и i. Однако, используя первую группу равенств (126), можно все p, входящие в функцию H, заменить через . Тогда уравнение (131) примет вид

Положив , получим уравнение

Вспомним теперь, что искомая производящая функция является функцией . Но если бы функция, удовлетворяющая уравнению (132), была бы найдена, то, как уже говорилось выше, были бы константами. Поэтому интересующая нас функция должна зависеть помимо n констант (они входят вместо ) лишь от «старых» координат q и от t. Теперь видно, что уравнение (132) является уравнением в частных производных относительно искомой функции . Это уравнение в частных производных называют уравнением Гамильтона — Якоби.

Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона—Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q и t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от n констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных функция зависит от n констант а, это дополнительное условие может быть переписано так:

Любая функция , обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от n констант и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби.

Мы не будем здесь входить в детали, связанные с интегрированием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132) определен, т. е. найдена функция , удовлетворяющая условию (133) и обращающая уравнение (132) в тождество. Тогда, подставляя в формулы преобразования, порожденного функцией , т. е. в формулы (126), «новые» гамильтоновы переменные (в силу выбора это константы (130)), получаем формулы преобразования в следующем виде:

В силу того, что функция как полный интеграл уравнения (132) зависит только от q, и , равенства (134) определяют конечные соотношения между q, p и t, зависящие от 2n констант . Таким образом, равенства (134) задают в неявной форме движение в «старых» координатах. Они являются, следовательно, интегралами исходной системы уравнений Гамильтона

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки — она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию , заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас? Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью?

Чтобы ответить на эти вопросы, обратим внимание на первую группу равенств (134). Эта группа равенств указывает, что импульсы являются составляющими -мерного вектора p, в каждый момент совпадающего с градиентом функции ,

Точка движется в каждое мгновение так, что импульс совпадает с градиентом функции в этой точке. Теперь легко понять, каким образом функция, заданная во всем координатном пространстве и изменяющаяся во времени, может определить движение точки в пространстве: где бы ни находилась эта точка, значение в данном месте пространства и в данный момент времени определяет направление импульса, а значит, и направление вектора, компонентами которого являются обобщенные скорости.

Уравнение Гамильтона—Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона — Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой.