§ 2. Движение геометрической точки

Рассмотрим движение геометрической точки относительно какой-либо системы отсчета (рис. 1.1, а). Предположим, что в соответствующей геометрической твердой среде каким-либо образом выбраны четыре несовпадающие точки такие, что любые три из них не лежат на одной прямой, причем одна из них принята за «начало координат», а три прямые, соединяющие начало координат с остальными тремя точками, задают три направления. Тогда радиус-вектор , проведенный из начала координат к любой точке среды, можно задать, например, проекциями на эти направления, и изучение любого движения геометрической точки относительно системы отсчета сведется к исследованию вектор-функции . Поэтому данный параграф лишь напоминает читателю основы векторного анализа в объеме, необходимом для понимания дальнейшего материала. Условимся считать, что три направления, выбранные в геометрической твердой среде, образуют правую декартову систему координат . Определить движение геометрической точки — значит задать ее положение относительно выбранной системы координат в любой момент времени t, т. е. задать вектор-функцию (рис. 1.2). Производная

называется скоростью точки, а вторая производная

— ее ускорением.

Рис. 1.2.

Для того чтобы задать вектор-функцию , достаточно задать три скалярные функции — координаты точки. Если — орты осей и, следовательно, постоянные векторы, то

Скорость в этом случае выражается так:

где — проекции вектор-функции на оси x, у и z. Очевидно, что

Аналогично устанавливаются выражения для ускорения:

где — ускорения вдоль осей ; тогда

При ином способе задания движения, так называемом естественном способе, в пространстве х, у, z задается кривая, по которой движется точка, — траектория точки. На траектории фиксируются начало, положительное направление отсчета и скалярная функция , задающая длину дуги траектории от начала отсчета до того места, где в момент t находится движущаяся точка (рис. 1.3). В том случае, когда движение все время происходит в одном и том же направлении, значения этой функции совпадают с путем, пройденным по траектории.

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Введем в рассмотрение так называемый сопровождающий трехгранник, образованный ортами касательной, главной нормали и бинормали в точке А траектории (рис. 1.4). Направление ортов меняется при движении точки А, т. е. эти орты представляют собой вектор-функции .

Определим ориентацию векторов относительно осей сопровождающего трехгранника. По определению

но производная от радиуса-вектора по дуге равна орту касательной , так что

т. е. вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории и по абсолютной величине равен модулю производной .

Формула (5) устанавливает связь между выражениями скорости при векторном и естественном способе задания движения; аналогично

Но — не что иное, как вектор кривизны, равный ( — радиус кривизны) и направленный по главной нормали; поэтому

Таким образом, вектор w лежит в соприкасающейся плоскости сопровождающего трехгранника. Его проекция на касательное направление

называется касательным (или тангенциальным) ускорением, а его проекция на направление главной нормали

— нормальным ускорением. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Ясно, что

В частном случае, когда траекторией движения является окружность, касательное ускорение направлено перпендикулярно радиусу окружности, а нормальное — по радиусу к центру (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Рис. 1.6.

Система координат, которая вводится при построении системы отсчета, не обязательно должна быть декартовой системой. В частности, положение точки относительно геометрической твердой среды можно задать, используя не только линейные, но и угловые величины. Так, например, на плоскости положение точки может быть определено не только двумя линейными координатами , но и полярными координатами: линейной величиной и углом (рис. 1.6). Аналогично, в трехмерной геометрической твердой среде положение точки может быть задано двумя линейными величинами и h и одной угловой величиной (цилиндрические координаты, рис. 1.7) или двумя угловыми величинами и одной линейной величиной (сферические координаты, рис. 1.8). Но каким бы способом ни определялось положение точки, в трехмерной геометрической твердой среде должны быть введены в рассмотрение три независимые величины; мы назовем их обобщенными координатами точки и обозначим через . Так, например, в декартовых координатах , в цилиндрических координатах , а в сферических координатах и т. д.

Рис. 1.7.

Рис. 1.8.

В любом случае задание полностью определяет движение точки, т. е. вектор-функцию

Пусть в момент положение точки определено значениями обобщенных координат , т. е. радиусом-вектором . Положив теперь , будем изменять . Тогда определит в пространстве кривую — ее называют координатной линией . Аналогично, фиксируя две другие обобщенные координаты и меняя третью, можно построить координатные линии и (рис. 1.9). Касательные к координатным линиям в точке образуют систему осей координат .

Рис. 1.9.

Для того чтобы определить компоненты скорости по построенным таким образом осям координат, введем в рассмотрение соответствующие орты:

и функции Ламе (иногда их называют коэффициентами Ламе)

тогда

и

т. е. компонента скорости v по оси равна

Определим, далее, — проекцию ускорения на ось , т. е. скалярное произведение :

Из выражения (12), которое определяет функцию , следует равенство

но, с другой стороны, очевидно, что

Используя (15) и (16), представляем равенство (14) в виде

или

Коль скоро вектор-функция определена по формуле (12), может быть подсчитана как скалярная функция , и тогда формула (17) для любой системы обобщенных координат определяет проекцию ускорения w на ось .