§ 6. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени. Теорема Эммы Нётер

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в § 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение.

Приступая к подготовке материала, который требуется для того, чтобы сформулировать теорему Эммы Нётер, устанавливающую эту связь, рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство преобразований системы отсчета, т. е. координат и времени:

где индекс приписан «новым» координатам и «новому» времени, а — некоторый параметр. Предположим, что преобразование (66) удовлетворяет двум следующим условиям:

1° Это преобразование тождественно при , т. е.

2° Для этого преобразования существует обратное:

Теперь мы можем сформулировать теорему Эммы Нётер. Теорема Нётер. Пусть задана система движущихся в потенциальном поле материальных точек, имеющая лагранжиан , и пусть существует однопараметрическое семейство преобразований (66), удовлетворяющее условиям 1° и 2°. Пусть, далее, лагранжиан L инвариантен по отношению к таким преобразованиям, т. е. «новый» лагранжиан (вычисленный по формуле ) не зависит от и как функция имеет совершенно такой же вид, как и «старый» лагранжиан L как функция . Тогда существует функция , которая не изменяется во время движения этой системы, т. е. является первым интегралом движения. Эта функция имеет вид

где H — гамильтониан рассматриваемой системы.

Доказательство. Рассмотрим два расширенных координатных пространства; одно из них соответствует «старым», а другое «новым» координатам и времени, получепным в результате преобразования (66). В первом из этих пространств (в пространстве q, t) выберем две произвольные точки и проведем между этими точками какую-либо кривую . Тогда однопараметрическое семейство преобразований (66) порождает во втором расширенном координатном пространстве , однопараметрическое семейство кривых (рис. VII.5). Оно получается, если из равенств (66)

исключить .

В силу первого условия, т. е. в силу формул (67), параметру соответствует исходная кривая, т. е. при

Началу и концу кривой , т. е. точкам из пространства , соответствуют в пространстве кривые, заданные параметрически (параметр ) формулами

Эти формулы получаются из формул (70), если вместо t подставить соответственно.

Рис. VII.5.

Примем в качестве кривой отрезок от до прямого пути системы с лагранжианом L. Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пути:

Заменив в интеграле (72) переменную t на , получим (см. стр. 281)

где функция строится по формуле (64). С учетом новых обозначений (см. условие ):

В силу условий теоремы Э. Нётер не зависит от и как функция своих аргументов совпадает с L:

Таким образом, если выполнены условия теоремы Нётер, то интеграл (72) можно записать следующим образом:

Рассмотрим теперь интеграл (74) как функционал, заданный на однопараметрическом семействе кривых . В равенстве (74) левая часть не зависит от а. Это очевидно, так как при замене переменной интегрирования значение определенного интеграла не меняется. Поэтому в рассматриваемом случае интеграл (74) имеет одно и то же значение на всех кривых из семейства и, следовательно, при всех

Интеграл (74) имеет вид действия по Гамильтону, заданного на однопараметрическом семействе кривых, и поэтому можно воспользоваться общей формулой (60) для вариации действия . В силу (60) имеем

(75)

Равенство (75) верно при любом , но мы воспользуемся им лишь при . В силу условия 1° при равенства (66) превращаются в тождества, т. е. зависит от точно так же, как зависит от t. Но — прямой путь и на нем

Следовательно, при обращаются в нуль и все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формулах (75).

Поэтому

Напомним, что сначала надо подставить пределы , а затем выполнить операции , т. е. дифференцирования по параметру. Но при

и в соответствии с формулами преобразования (66)

Поэтому

Учитывая при подстановке пределов эти равенства и тот факт, что , после сокращения на независимое приращение из равенства (76) получаем

где верхний индекс указывает, берется ли соответствующая функция при или

Вспомним, что прямой путь и точки и на нем были выбраны произвольно. Отсюда следует, что функция (69) вообще не меняется вдоль кривой , т. е. на любом прямом пути.

Теорема Эммы Нётер доказана.

Покажем теперь, как, используя только теорему Нётер, можно получить все законы сохранения (первые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений.

Закон сохранения механической энергии для консервативной системы. Рассмотрим консервативную (или обобщенно консервативную) систему. В качестве семейства преобразований (66) возьмем «сдвиг по времени»:

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а , т. е. функция в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана , разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции в силу преобразования (78) тождественно равны , т. е. не зависят от , и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а и формула (69) принимает вид

Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия H не меняется. При движении же консервативной системы и не меняется ее полная механическая энергия.

Закон сохранения импульса для циклических координат. Рассмотрим теперь систему с циклической координатой <7! и покажем, что импульс, соответствующий циклической координате, не меняется. Для этого используем «сдвиг по циклической координате»:

Непосредственно видно, что это преобразование удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (а значит, и гамильтониан) системы не зависит от циклических координат, и следовательно, вид этих функций не меняется при преобразовании (79). Следовательно, в силу теоремы Нётер имеет место первый интеграл вида (69). Но при преобразовании , остальные . Следовательно, в данном случае формула (69) принимает вид

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана.

Закон сохранения количества движения для замкнутых систем. Рассмотрим теперь замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле. В качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и применим «сдвиг вдоль одной из осей координат», например вдоль оси :

(здесь N — число точек системы).

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все для координат , так же как и , равны нулю, а функции для координат таковы, что .

Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части сумма равна

но и поэтому первый интеграл (69) имеет вид

(81)

Равенство (81) есть не что иное, как закон сохранения количества движения в проекции на ось .

Совершенно аналогично, используя преобразования типа (80) для сдвига не вдоль оси x, а вдоль осей у и z, устанавливаем сохранение проекций количества движения на оси у и z соответственно. Таким образом, закон сохранения количества движения при движении замкнутой системы в потенциальном поле полностью доказан.

Закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле, которое получается в результате взаимодействия точек системы. Как и ранее, в качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси z:

Непосредственно видно, что преобразование (82) удовлетворяет условию 1°, т. е. при превращается в тождественное преобразование. Легко проверить, что оно удовлетворяет и условию 2°, т. е. что система уравнений (82) разрешима относительно «старых» координат, ибо определитель этой системы равен . При повороте системы координат взаимное расположение и расстояние между точками системы не меняются, и следовательно, не меняется потенциальное поле, а значит, не меняется и L. Таким образом, в силу теоремы Нётер и в этом случае имеет место первый интеграл (69). В случае преобразования (82) для координат всех точек системы имеет место соотношение

Аналогично для всех координат

С другой стороны, и поэтому в данном случае

т. е. проекция кинетического момента на ось z сохраняется.

Совершенно аналогично, рассматривая поворот системы координат вокруг осей x и y, устанавливаем сохранение во время движения проекций кинетического момента на оси x и у соответственно, т. е. полностью доказываем закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы, движущейся в потенциальном поле.

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат.

Теорема Нётер может быть использована и в тех частных случаях, когда удается найти иные преобразования, сохраняющие лагранжиан.