§ 4. Использование уравнений Лагранжа для описания движения систем с механическими связями

До сих пор мы рассматривали систему материальных точек в предположении, что ничто не ограничивает движения точек и что это движение предопределяется действующими на точки силами, в частности, силоеыми полями. При этом наличие иных материальных объектов в пространстве, не принадлежащих к рассматриваемой системе, было существенно лишь в том отношении, что эти объекты могли создавать силовые поля (например, поле всемирного тяготения, магнитное поле и т. д.), но сами по себе не препятствовали движению рассматриваемой системы. Иначе говоря, До сих пор мы пренебрегали тем фактом, что «посторонняя» для изучаемой системы материя сама занимает некоторое место в пространстве и, следовательно, точки нашей системы уже не могут занимать того же самого места. Такая идеализация приемлема для многих задач физики. В технике приходится считаться с кардинально иной постановкой задачи; например, при движении частей машин место, занятое какой-либо деталью, уже не может быть занято в тот же момент другой деталью, и это накладывает ограничения на свободу движения изучаемой системы.

Любые ограничения, накладываемые на движение исследуемой системы тем фактом, что материя занимает место в пространстве и поэтому в той или иной мере препятствует движению исследуемых материальных точек, называются механическими связями.

Классификация механических связей. Начнем с простейших примеров механических связей. В качестве первого примера рассмотрим движение материальной точки в плоскости при условии, что на этой плоскости существует препятствие, имеющее форму параболы и не позволяющее материальной точке оказаться справа от него (т. е. в заштрихованной на рис. IV.3, а области). Таким образом, во время движения материальная точка может находится лишь в тех точках плоскости, которые находятся слева от параболы или на ней (рис. IV.3, а). Другим примером может служить механическая связь, определяемая тем условием, что материальная точка во время движения должна все время находиться на указанной выше параболе (рис. IV.3, б). В первом случае безотносительно к действующим силам, только за счет рассматриваемого ограничения, координаты точки должны удовлетворять условиям

Рис. IV.3.

Рис. IV.4.

Во втором случае условие имеет уже форму не неравенства, а равенства

Теперь усложним механическую связь: предположим, что рассматриваемая точка должна все время находиться на той же параболе, но сама парабола поступательно движется с постоянной скоростью v, параллельной оси (рис. IV.4). В этом случае возможные положения точки в плоскости также ограничены, но условия, накладываемые такой механической связью на координаты , имеют вид

В качестве следующего примера рассмотрим ограничение несколько иного типа. Представим себе плоское движение двух точек , стесненное следующим условием: во время движения расстояние между этими двумя точками должно все время оставаться постоянным и равным (рис. IV.5). Легко видеть, что при этом координаты точек должны удовлетворять равенству

Рассмотрим теперь более сложный случай: пусть в предыдущем примере вводится еще одно ограничение — скорость середины отрезка, соединяющего точки, должна быть всегда направлена вдоль этого отрезка (рис. ). Это условие накладывает дополнительное ограничение не только на координаты точек, но и на скорость середины отрезка, соединяющего точки, а значит, и на скорости самих точек. Проекции скорости середины отрезка на оси и равны

и поэтому условие, что скорость середины отрезка всегда направлена вдоль отрезка, выражается равенством

Последний пример отличается от ранее рассмотренных в двух отношениях: во-первых, ограничения обусловили не одно, а два равенства одновременно; во-вторых, условие (56) накладывает ограничения не только на координаты, но и на скорости, и выражается поэтому не конечным равенством, а дифференциальным уравнением по отношению к координатам точек.

Рис. IV.5

Рис. IV.6.

Этих примеров достаточно, чтобы иллюстрировать следующую классификацию механических связей (рис. 1V.7).

Механические связи подразделяются на два основных класса: на связи удерживающие и неудерживающие.

Связь называется удерживающей, если накладываемые ею ограничения выражаются в форме равенства, как это имело место во всех рассмотренных выше примерах, кроме первого. Обычно удерживающие связи вводятся условием, что точки должны находиться на некоторых кривых или на некоторых поверхностях в пространстве, либо что не должны меняться расстояния между точками и т. д.

Рис. IV.7.

Механическая связь называется неудерживающей, если накладываемые ею на координаты точек ограничения выражаются неравенствами, как это имело место в первом из рассмотренных примеров. Такого рода механические связи имеют место обычно в тех случаях, когда запрещается пребывание точки в некоторой части пространства. Далее мы будем интересоваться лишь удерживающими связями, и поэтому дальнейшая классификация неудерживающих связей на рис. IV.7 опущена.

Удерживающие механические связи подразделяются на конечные и дифференциальные в зависимости от того, является ли равенство, выражающее их, конечным соотношением или дифференциальным уравнением.

В рассмотренных выше примерах все связи были конечными, за исключением связи, выраженной равенством (56) в последнем примере. Эта связь — дифференциальная, так как равенство (56) представляет собой дифференциальное уравнение.

В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифференциальным уравнениям, возможны два варианта в зависимости от того, можно ли проинтегрировать эти уравнения. Если дифференциальные уравнения связи могут быть проинтегрированы, то они записываются в конечном итоге в виде конечных соотношений, но эти конечные соотношения содержат также и произвольные постоянные, которые естественным образом вводятся при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на дифференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегрируемые.

Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи — класс неголономных связей. Соответственно системы, содержащие лишь конечные или дифференциальные интегрируемые связи, относятся к классу голономных систем, а системы, содержащие дифференциальные неинтегрируемые связи, - к классу неголономных систем. Далее мы не будем заниматься неголономными связями, и поэтому опускаем их классификацию (рис. IV.7). Что же касается голономных связей, то их можно подразделить далее в зависимости от того, содержат ли равенства, выражающие эти связи, в явной форме время. В тех случаях, когда эти равенства не содержат время явно, механическая связь называется стационарной или склерономной. В тех случаях, когда время явно входит в эти равенства, связь называется нестационарной или реономной. Обычно стационарные связи имеют место в тех случаях, когда поверхности или кривые, на которых должны находиться материальные точки, либо расстояния между этими точками не меняются со временем. Наоборот, в тех случаях, когда материальные точки должны находиться на кривых или поверхностях, которые сами меняются со временем, связи оказываются реономными.

Всюду далее, говоря о механических связях, мы будем иметь в виду голономные связи, стационарные либо нестационарные. Соответствующие соотношения мы будем записывать для конечных связей, имея в виду, что наличие произвольных постоянных в выражениях для связей не меняет последующих рассуждений.

Возможные и виртуальные перемещения и скорости. Рассмотрим теперь голономную систему. Для содержащихся в ней связей могут быть выписаны уравнения вида

Во время движе системы все координаты — функции времени и уравнения голономных связей — определяют тождеств

Координаты точек должны удовлетворять этим соотношениям. Они содержат t явно лишь в том случае, когда механические связи реономны.

Дифференцируя тождества (58) по времени, получаем

Этим соотношениям должны удовлетворять скорости точек . В случае склерономных связей уравнения (59) не содержат частной производной по явно входящему времени, .

Любые скорости точек, которые удовлетворяют соотношениям (59), называются возможными скоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении возможных скоростей, удовлетворяющие, следовательно, соотношениям (57), называются возможными перемещениями. Таким образом, возможные скорости и перемещения — это соответственно скорости и перемещения, допускаемые наложенными на систему голономными связями.

В случае реономных связей введем понятие «замороженной» связи. Связь называется «застывшей» или. «замороженной», если в некоторое мгновение считается, что она перестает зависеть явно от времени, т. е. как бы застывает, перестает перемещаться или деформироваться. Так, например, для реономной связи, представленной на рис. IV.4, замораживание означает, что в некоторое мгновение парабола останавливается и в это мгновение перемещениями, удовлетворяющими связи, являются перемещения, не выводящие точку с неподвижной (остановленной) параболы. Аналитически «замораживание» связей проявляется в том, что в уравнениях связи вида (57) явно входящее время t считается константой и при дифференцировании частная производная по явно входящему времени оказывается поэтому равной нулю.

В силу этого для «замороженных» реономных связей в соотношениях (59) исчезает первый член — частная производная по явно входящему времени.

В случае реономных связей скорости, удовлетворяющие уравнениям «заморсженных» реономных связей (т. е. уравнениям (59), из которых выброшен первый член), называются виртуальными скоростями, а перемещения вдоль виртуальных скоростей, т. е.

Рис. IV.8.

малые перемещения, удовлетворяющие уравнениям (57), в которых предположено, что явно входящее время более не изменяется, назызаются виртуальными перемещениями.

На рис. IV.8 повторен пример, представленный ранее на рис. IV.4, в двух случаях: а) реономная связь считается «замороженной», т. е. остановленной, и б) реономная связь рассматривается без каких-либо изменений в том виде, в каком она действительно наложена на систему. Сплошными стрелками показаны возможные перемещения точки в случае б). Виртуальные перемещения совпадают с касательной к параболе в той ее точке, где в данное мгновение находится материальная точка, а возможные перемещения зависят также и от скорости движения параболы и по направлению, вообще говоря, не совпадают с касательной.

Для систем со склерономными механическими связями возможные и виртуальные скорости (и соответственно — возможные и виртуальные перемещения), естественно, совпадают.

Число степеней свободы и обобщенные координаты. Для того чтобы полностью описать движение материальной системы, содержащей N точек и лишенной каких-либо механических связей, нужно задать величин — этими величинами являются 3N координат точек. Иначе обстоит дело в системах с механическими связями.

Обратимся к рис. IV.3, б. В этом случае рассматривается плоское движение одной материальной точки. При отсутствии связей нужно было бы задать две ее координаты, например декартовы координаты и . При наличии связи — в данном случае ею служит парабола — достаточно знать только одну координату точки , потому что координата у сразу определяется из уравнения параболы. Положение точки в этом случае можно определить каким-либо иным способом, например договориться о начале и направлении отсчета вдоль параболы, и тогда положение точки на параболе будет полностью задано одним числом — длиной дуги.

Совершенно так же обстоит дело в случае, когда точка должна находиться на движущейся параболе (рис. IV.4), если известна скорость движения параболы.

В случае, представленном на рис. IV.5, рассматривается плоское движение двух материальных точек, и при отсутствии связей требовалось бы задать четыре координаты. Однако благодаря наличию одной механической связи для полного определения положения двух точек в данном случае нужно задать не четыре, а только три величины. Ими могут быть, например, координаты и одной из точек и угол , который образует отрезок , соединяющий точки, с горизонталью, проходящей через первую точку. Действительно, зная положение первой точки, этот угол и значение , которое по условию фиксировано, сразу определяем координаты второй точки: .

Вернемся теперь к случаю, когда задано связей, т. е. задано соотношений вида (57). Если якобиан этих функций отличен от нуля (а далее это всегда предполагается), то условия (57) могут быть использованы для того, чтобы выразить декартовых координат точек через остальные. Поэтому для того, чтобы задать положение N точек, нужно знать не координат; остальные координат найдутся из соотношений (57). Для того чтобы определить положение системы в этом случае, разумеется, не обязательно использовать декартовых координат — как в приведенных примерах, так и в общем случае можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы.

Наименьшее число независимых величин, которое надо знать для того, чтобы полностью определить положение всех точек голономной системы, называется числом степеней свободы системы. Условимся число степеней свободы обозначать буквой . Если точка не стеснена механическими связями, то положение ее определяется тремя величинами — ее координатами, и поэтому число степеней свободы точки равно трем. Соответственно число степеней свободы системы, содержащей N точек, не стесненных механическими связями, равно . При плоском движении одна точка имеет две степени свободы, а система, состоящая из N точек, имеет число степеней свободы, равное. . В примере, представленном на рис. IV.3, б и IV.4, система состоит из одной точки и имеет одну степень свободы. В примере, представленном на рис. IV.5, число степеней свободы равно 3. В общем случае системы, содержащей N точек и стесненной механическими связями, как уже было указано выше, число степеней свободы равно .

Любой набор из величин, независимых одна от другой и полностью определяющих положение системы, называется системой обобщенных координат, сами эти величины — обобщенными координатами, а их производные по времени — обобщенными скоростями.

В соответствии с этой терминологией для системы материальных точек, не стесненных какими-либо связями, обобщенными координатами служат величин, заданных в любой из рассмотренных ранее систем координат: декартовой, цилиндрической, сферической и т. д. В этом смысле «новые координаты» о которых шла речь в § 1 и 2 этой главы, являются обобщенными координатами. Подобным же образом при рассмотрении голономных систем, движение которых стеснено механическими связями, возможен самый разнообразный выбор обобщенных координат. Так, в примере, представленном на рис. IV.3, б, обобщенной координатой (как уже было указано) может служить либо координата у точки, либо ее координата , либо дуга вдоль параболы (отсчитанная с учетом знака от какой-либо начальной точки, например от начала координат), либо угол, образованный лучом, проведенным из начала координат к материальной точке, и осью абсцисс, и т. д.

Рис. IV.9.

Для примера, представленного на рис. IV.5, различный выбор возможных систем обобщенных координат определяется тем, каким образом фиксируется, во-первых, положение одной точки и, во-вторых, положение второй точки относительно первой. На рис. IV.9 приведены примеры различных способов введения обобщенных координат. На рис. IV.9, а в качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты первой точки и угол образованный прямой, соединяющей две точки системы, на рис. IV.9, б обобщенными координатами служат полярные координаты первой точки и угол для определения положения второй точки на рис. IV.9, в — декартовы координаты второй точки и угол, образованный прямой, соединяющей две точки системы, с вертикалью, проведенной через вторую точку . Разумеется, в этом примере возможен и иной выбор обобщенных координат.

На рис. IV.10 изображен так называемый двойной плоский маятник, а на рис. IV. 11 — система, состоящая из плоского маятника, к которому на пружине подвешен грузик.

Изображенная на рис. IV.10 система имеет две степени свободы, и в качестве обобщенных координат можно взять, например, либо углы и , либо величины , либо величину и угол и т. д. Число степеней свободы системы, показанной на рис. IV.11, зависит от предположения о движении грузика, подвешенного к пружине. Если грузик может занимать любое положение в плоскости и от его положения зависит только упругая сила пружины, то пружина лишь предопределяет силовое взаимодействие между грузиком и маятником, т. е. характер возникающих в системе потенциальных сил, и не накладывает каких-либо ограничений на движение системы. Поэтому в данном случае система имеет три степени свободы, и соответственно обобщенными координатами могут быть величина а или — ею фиксируется положение маятника — и какие-либо две величины, например декартовы координаты, фиксирующие положение грузика. Иначе обстоит дело, если пружина может растягиваться лишь вдоль вертикали, т. е. если грузик вынужден всегда находиться на одной вертикали с маятником (например, движется по вертикальной направляющей, закрепленной на маятнике). В этом случае система имеет две степени свободы и обобщенными координатами могут служить, например, угол а и расстояние от маятника до грузика, т. е. длина пружины.

Рис. IV.10.

Рис. IV.11.

По самому определению понятия «обобщенная координата» ясно, что декартовы координаты всех точек системы однозначно определяются, коль скоро заданы обобщенные координаты, несмотря на то, что число обобщенных координат может быть значительно меньше утроенного числа материальных того, число материальных точек может быть бесконечным, например, если система содержит тела, а число обобщенных координат конечно и даже мало.

Но в любом случае декартовы координаты полностью определяются через обобщенные, и при этом функции, выражающие декартовы координаты материальных точек через обобщенные координаты, не зависят явно от времени, если все механические связи склерономны, и зависят явно от времени, если среди механических связей системы имеются реономные. Имея в виду этот общий случай, представим зависимости между декартовыми координатами точек и обобщенными координатами в виде

Переходя в этих выражениях к виртуальным перемещениям, т. е. дифференцируя их при предположении, что явно входящее в выражения (60) время является константой, получаем

Соотношения (60) и (61) формально совпадают с соотношениями (8) и (12) этой главы, хотя к ним приходят из иных соображений. Отсюда сразу вытекают следующие результаты.

1. Механические голономные связи предопределяют зависимости (60) между декартовыми и «новыми» координатами, если в качестве «новых» координат выбрана любая система обобщенных координат.

2. Для системы с механическими голономными связями различие между операторами d и имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что удовлетворяет неравенству хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было.

Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами забисят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать движения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи.

Для того чтобы пояснить это последнее обстоятельство, введем новое понятие. Условимся механические связи называть идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю. Обычно идеальными являются связи, при которых движение материальной точки вдоль кривой или поверхности, определяющей связь, происходит без трения.

Действительно, в этом случае реакции связей направлены по нормалям к кривым или поверхностям, стесняющим движение, а виртуальные скорости — по касательным к ним, и поэтому виртуальная работа реакций связей в таких случаях равна нулю. Если из-за учета трения связь оказывается не идеальной, т. е. ее реакция не ортогональна к виртуальной скорости, то эту реакцию можно разложить на «идеальную составляющую», направленную по нормали, и на «неидеальную составляющую», направленную вдоль виртуальной скорости.

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве «новых» координат использовать обобщенные координаты (их число равно числу степеней свободы системы), а формулы (8) получаются так, как это было пояснено выше (см. рассуждения, приводящие к формулам ).

При выводе уравнений Лагранжа мы исходим из записи второго закона Ньютона. Для систем, содержащих голономные механические связи, этот закон имеет вид

где — реакция связи, действующая на точку системы.

Дословно повторяя вывод уравнений Лагранжа из § 2 этой главы, приходим к уравнениям Лагранжа (22) с той лишь разницей, что теперь в них означает

Выше было показано, что обобщенная сила равна множителю при в выражении для виртуальной работы приложенных сил . Аналогично — такой же множитель в выражении для виртуальной работы реакций связей. Таким образом, уравнения Лагранжа пригодны для описания системы, содержащей голономные механические связи.

В том случае, когда связи идеальные, сумма работ их реакций на виртуальном перемещении равна нулю. В связи с тем, что — независимые приращения, множители в выражении для виртуальной работы реакций идеальных связей порознь равны нулю:

Поэтому реакции идеальных связей могут не учитываться при подсчете обобщенных сил . Если же система содержит неидеальные связи, то соответствующие «неидеальные составляющие» их реакций должны быть отнесены к приложенным силам и учтены при подсчете обобщенных сил . Зависимость «неидеальных составляющих» реакций связей от обобщенных координат, скоростей или от времени определяется, исходя из физической природы этих сил так же, как и для приложенных сил .

При наличии механических связей, как и при отсутствии их, уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид при любом выборе обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы исследуемой системы, а порядок системы уравнений Лагранжа равен .

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество: они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные преимущества по сравнению с непосредственным применением уравнений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системы уравнений, описывающих движение, до , где — число степеней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей. Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нормальными реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями.

В том случае, когда исследуемая система не содержит механических связей, нестационарность преобразований (8) возникает лишь при условии, что «новая» система отсчета (координаты ) движется относительно «старой» системы (координаты ). В случае же наличия механических конечных связей причиной нестационарности преобразований (60) является также учет особенностей связей, если они реономны.

Первоначально лагранжев формализм был разработан, главным образом, для того, чтобы обойти затруднения, связанные с исследованием систем с механическими связями. Позже с развитием физики выяснилось удобство этого формализма в связи с ковариантной формой уравнений Лагранжа для описания движений и в тех случаях, когда связи отсутствуют.