§ 7. Интегральные инварианты

В § 5 были рассмотрены некоторые общие свойства прямого пути, отличающие его от прочих путей. В развитии такого подхода в этом параграфе будут рассматриваться некоторые общие свойства множества прямых путей. Все прямые пути этого множества принадлежат одной и той же динамической системе и отличаются один от другого выбором начальных данных.

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три: интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем».

1. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана.

Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан H. В -мерном расширенном фазовом пространстве q, p, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции H движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем за начальную точку другую точку контура и тоже «выпустим» из нее прямой путь. Выполнив это построение для всех точек контура , получим множество прямых путей. Это множество образует трубку, составленную из прямых путей (рис. VII.6), короче говоря, трубку прямых путей.

Введем теперь параметр а таким образом, чтобы выбором этого параметра однозначно определялась точка контура , а значит, и один из прямых путей, образующих трубку. Распорядимся выбором параметра а так, чтобы при обходе контура он менялся от 0 до . Можно, например, длину контура положить равной единице, выбрать какую-либо точку контура за исходную и в качестве параметра а взять длину дуги контура от исходной точки до рассматриваемой. Ясно, что при этом значениям соответствует одна и та же точка контура и, следовательно, один и тот же выпущенный из этой точки прямой путь.

Рис. VII.6.

Помимо расширенного фазового пространства введем в рассмотрение для этой же системы -мерное расширенное координатное пространство q, t. Так как задание любой точки в расширенном фазовом пространстве определяет, в частности, q и t, каждой точке расширенного фазового пространства соответствует точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь значениями импульсов p, будет соответствовать одна и та же точка расширенного координатного пространства.

Итак, контур и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расширенное координатное пространство неоднозначно.

В связи с неоднозначностью этого отображения прямые пути в расширенном координатном пространстве могут пересекаться (рис. VII.7), однако для нас это обстоятельство несущественно; важно лишь то, что каждое значение параметра расширенном координатном пространстве определяет совершенно конкретную точку отображенного контура и совершенно конкретный прямой путь, проходящий через эту точку.

Вернемся к расширенному фазовому пространству и проведем на трубке прямых путей какой-либо произвольный контур охватывающий эту трубку (рис.

VII.6). Построенный так контур перенесем в расширенное координатное пространство (рис. VII.7).

В результате в расширенном координатном пространстве получится однопараметрическое семейство кривых, начала которых лежат на кривой , а концы на кривой причем значениям параметра будут заведомо соответствовать одни и те же кривые этого семейства (рис. VII.7).

Рис. VII.7.

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть:

Проинтегрируем левую и правую части равенства (83) по от до :

Но

поскольку значениям , как уже было указано, соответствует одна и та же кривая семейства, а значит, одно и то же значение функционала I. Интегралы в правой части равенства (84) представляют собой контурные интегралы по контурам соответственно. Поэтому равенства (84) можно переписать так:

Вспомним теперь, что исходный контур и контур на трубке прямых путей были выбраны совершенно произвольно. Отсюда сразу получаем, что контурный интеграл

взятый по любому контуру С, охватывающему трубку прямых путей, не зависит от выбора этого контура.

Интеграл (85) называют интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана.

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре—Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения — все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал входит совершенно так же, как дифференциалы . Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату , а в качестве импульса, соответствующего этой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком, то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так:

Итак, положим

и разрешим второе из этих равенств относительно какого-либо импульса, например :

Тогда интегральный инвариант (85) может быть представлен в форме

которая внешне совпадает с формой интегрального инварианта Пуанкаре — Картана (85), только здесь выбранная координата и время «поменялись местами». Роль гамильтониана в этом случае играет функция К. Таким образом, и в пределах классической механики можно устранить исключительность времени и записать уравнения движения так, что роль времени играет любая из координат. Это представление уравнения движения оказывается иногда удобным (например, для консервативных систем) и будет использовано в последнем параграфе этой главы.

Рис. VII.8.

2. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.

Рассмотрим теперь интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (85), взяв в качестве контуров, охватывающих трубку прямых путей, только «одновременные» контуры, т. е. контуры, которые получаются сечением этой трубки гиперплоскостями (рис. VII.8). Чтобы отличить «одновременные» контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени равен нулю. В силу этого интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, рассматриваемый только на «одновременных» контурах, имеет вид

(86)

Особенность интегрального инварианта, взятого в такой форме, состоит в том, что в подынтегральное выражение уже не входит гамильтониан, и следовательно, этот интегральный инвариант оказывается одинаковым для всех динамических систем, движущихся в произвольных потенциальных полях. Последнее утверждение имеет следующий смысл.

Рассмотрим какой-либо контур, лежащий в плоскости (рис. VII.9), и «выпустим» из этого контура трубку прямых путей некоторой системы с гамильтонианом . Введем теперь в рассмотрение какую-либо другую динамическую систему с гамильтонианом и «выпустим» из этого же контура трубку прямых путей этой системы. Разумеется, это будут разные, несовпадающие трубки прямых путей, хотя и «выпускаются» они из одного и того же контура. Выберем теперь произвольный момент времени и проведем плоскость , пересекающую эти две трубки прямых путей; в сечениях получатся два охватывающих эти трубки «одновременных» контура. Контурный интеграл (86), взятый по этим различным контурам, будет одинаков и будет в точности равен контурному интегралу, взятому по начальному контуру; это утверждение остается в силе для любой плоскости .

Рис. VII.9.

В этом смысле контурный интеграл (86) является универсальным, не зависящим от того, каково потенциальное поле, в котором движется система, и поэтому называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре.

3. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Для интегральных инвариантов Пуанкаре и Пуанкаре—Картана верно обратное утверждение.

Теорема. Если контурный интеграл (86) не зависит от выбора контура С, охватывающего при трубку решений системы уравнений

то эта система гамильтонова, т. е. существует такая функция , что

Если, кроме того, существует такая функция , что на трубке решений системы (87) контурный интеграл

имеет одно и то же значение при произвольном выборе контура С, охватывающего трубку, то гамильтониан системы (87) равен , где — произвольная функция .

Доказательство. В силу условий теоремы , т. е.

Взяв интеграл от по частям и опустив равные нулю (интеграл берется по замкнутому контуру!) проинтегрированные члены, получим

В силу произвольности контура С это равенство возможно только в том случае, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, которую мы обозначим через — . Тогда

или

Первое утверждение теоремы доказано — система (87) гамильтонова. Но тогда для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

(89)

Пусть теперь для уравнений (87) выполнено второе условие теоремы, т. е. при произвольном выборе контура С, охватывающего трубку ее решений, имеет место равенство

Последние два равенства верны для любых контуров С, охватывающих трубку решений системы (87), в частности для контуров С, лежащих в плоскости ; поэтому

Вычитая первое равенство из второго, получаем

Это равенство возможно только тогда, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции

Из этого равенства следует, что

т. е. что функция не зависит от q и p, а зависит только от t, и что

Теорема доказана полностью.

В силу этой теоремы интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (так же, как и принцип Гамильтона) может быть положен в основу механики. Действительно, если бы мы в качестве исходного постулата приняли существование интегрального инварианта Пуанкаре—Картана, то отсюда сразу следовало бы, что движение описывается уравнениями Гамильтона, а при условии

— и уравнениями Лагранжа.

4. Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля.

Выберем в фазовом пространстве q, p произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам области , т. е. будем считать все точки этой области «начальными» в момент времени .

Проведем из каждой точки области фазовую траекторию и отметим на каждой из этих траекторий точку , соответствующую некоторому фиксированному моменту времени .

Точки образуют в фазовом пространстве новую область (рис. VII.10).

Таким образом, исходя из заданной в момент области с объемом V0, можно построить область с объемом для любого момента , и в этом смысле объем является функцией t. Возникает вопрос о том, какой вид имеет эта функция , т. е. как изменяется фазовый объем V во время движения системы. Ответ на этот вопрос дает

Теорема Лиувилля. Фазовый объем V не зависит от t, т. е. является инвариантом движения.

Далее мы докажем эту теорему, имеющую важное приложение в статистической физике в связи с исследованием некоторых свойств статистических ансамблей.

Статистическим ансамблем называется множество одинаковых динамических систем, т. е. систем, описываемых одинаковыми уравнениями движения и отличающихся одна от другой лишь благодаря случайному «разбросу» начальных данных.

Рис. VII.10.

Рассмотрим теперь некоторый статистический ансамбль. Поскольку он состоит из одинаковых систем, фазовое пространство будет одним и тем же для всех систем ансамбля.

В каждый момент времени каждая система ансамбля определяет некоторую точку этого фазового пространства, а все системы, принадлежащие статистическому ансамблю, — множество точек, т. е. некоторую область. В различные моменты времени состояния всех систем ансамбля определяют различные области, и в этом смысле область, характеризующая статистический ансамбль, перемещается в фазовом пространстве во время движения систем, образующих ансамбль.

Выберем в фазовом пространстве элементарную область и обозначим через число систем рассматриваемого ансамбля, которые в данный момент определяют точки, расположенные в . Если мало, то отношение

где — объем , является, вообще говоря, функцией фазовых координат q, p и времени t. При надлежащем нормировании p характеризует долю систем ансамбля, которые в момент t представляются точками области . Это отношение p для достаточно малых называется плотностью статистического ансамбля.

Если теперь выбрать в момент малую область , зафиксировать системы ансамбля, которые при представляются точками области , и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиувилля объем также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение p не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е.

Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема.

В связи с тем, что плотность статистического ансамбля зависит только от фазовых координат и времени и не зависит от производных фазовых координат, утверждение определяет первый интеграл уравнений движения.

Приступим теперь к доказательству теоремы Лиувилля. Эта теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой системы, которое устанавливает следующая Лемма. Пусть

— решения гамильтоновой системы, при заданных и t определяющие преобразование в q, p при любом .

Доказательство. Произвольно выберем начальные данные . Тогда указанное преобразование при определяет

т. е. является тождественным преобразованием. Поэтому при якобиан J является определителем единичной матрицы Е,

и утверждение леммы тривиально.

Определитель J имеет вид

Подсчитаем теперь, чему равна производная при . Вспоминая, что производная определителя равна сумме определителей, каждый из которых получается дифференцированием одной из строк, имеем

где

Здесь определитель выписан для , а символ означает, что в соответствующей части определителя стоят те же элементы, что и в исходном определителе .

Учитывая, что при , имеем

где символ заменяет в строке элементы, значения которых не играют роли в дальнейших рассуждениях. Раскрывая этот определитель по элементам столбца, в случае получаем

В случае аналогично имеем

поэтому

Заменяя в этом равенстве , их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем

Таким образом, в момент мы имеем . Заметим, что было выбрано произвольно и в качестве начальной может быть взята любая точка фазовой траектории. В силу этого для любого . Пусть теперь Для того чтобы по известным в момент определить q и p в момент t, можно формулы преобразования использовать дважды: сначала по найти а затем принять , и за начальные и определить q, p и t. При последовательном выполнении преобразований их якобианы перемножаются, так что поэтому

Но выше было показано, что при любом . Следовательно, и . Таким образом, показано, что при любом . Следовательно, при всех t. Лемма доказана.

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, p замкнутую область , соответствующую (рис. VII.10). Фазовое пространство имеет измерений, и поэтому объем области выражается -кратным интегралом

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем в момент :

Но в силу доказанной леммы , поэтому

при любом t. Теорема Лиувилля доказана.

5. Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуачжуна.

Мы рассмотрели лишь три интегральных инварианта — инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем». В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем рассматривать, а остановимся лишь на общей их классификации.

В тех случаях, когда интегральный инвариант относится к какому-либо замкнутому контуру, он называется относительным. Интегральные инварианты Пуанкаре—Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант «фазовый объем» таковым не является.

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно, для всех динамических систем, движущихся S потенциальных полях, называются универсальными. Инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем» — универсальные, а инвариант Пуанкаре—Картана не относится к универсальным.

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре—Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант «фазовый объем» является инвариантом порядка, так как интегрирование производится по -мерной области — фазовому объему.

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид

Универсальный относительный интегральный инвариант первого порядка в общем виде можно было бы записать так:

Естественно возникает вопрос: существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка отличные от инварианта Пуанкаре на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном.

Теорема. Любой универсальный относительный инвариант первого порядка может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь постоянным множителем, т. е. для любого существует константа с такая, что

Доказательство. Доказательство теоремы Ли Хуачжуна сводится к доказательству следующего утверждения: из того факта, что — относительный универсальный интегральный инвариант, следует, что

где , т. е. сумма, стоящая в левой части равенства (91), является полным дифференциалом некоторой функции . Иначе говоря, это утверждение означает, что при любых и k выполняются равенства

где — символ Кронекера.

Действительно, если это утверждение справедливо, то, представляя (91) в виде

и интегрируя это равенство по любому замкнутому контуру С, немедленно приходим к утверждению теоремы Ли Хуачжуна:

Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенств .

Доказательство равенств 1° и 2°.

Если гамильтониан и начальный контур

выбраны произвольно, то решения уравнений Гамильтона определяют трубку прямых путей

и каждое значение выделяет контур, охватывающий эту трубку.

Если выражения (92) подставить в (90), то из того факта, что — инвариант, сразу следует, что

Меняя порядок выполнения операций и и интегрируя два последних слагаемых по частям, получаем

где

Подставим эти выражения в равенство (93) и изменим порядок суммирования; это дает

Заменив в первом контурном интеграле индекс на k и сгруппировав члены, содержащие множителями , можно записать равенство так:

Подставим сюда выражения (94) для (предварительно поменяв местами индексы k и ):

Введем обозначения

в них равенство (96) принимает вид

где

и

Равенство (98) должно выполняться на любом контуре С (т. е. при любом t). Это возможно лишь в том случае, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом, т. е. когда при любых k и

Исследуем подробнее равенства (101). Подставляя в них выражения (99) для и учитывая, во-первых, что

а, во-вторых, что q и p удовлетворяют уравнениям Гамильтона

получаем

Заметим, что эти равенства имеют место при любом выборе функции H. Функции А и В (а следовательно, и функции Y и R) в силу универсальности интегрального инварианта (90) не зависят от H; можно поэтому установить общие свойства функций Y и R, выбирая функцию H каким-либо специальным образом. Воспользуемся этим обстоятельством и, задавая различные функции H, выясним условия, которым удовлетворяют функции Y и R.

1. Пусть ; тогда равенство (104) принимает вид

2. Пусть с учетом (105) равенство (104) записывается так:

и поскольку могут выбираться произвольно,

. Пусть H не зависит от p (так что ) и зависит от q так, что

В этом случае из (104) с учетом (105) и (106) следует, что

Числа могут быть выбраны произвольно, но так, что . Полагая получаем

полагая же , находим, что

Теперь равенство (104) сводится к виду

4. Пусть , тогда из равенства (109), к которому свелось равенство (104), следует, что

5. Пусть H не зависит от q и зависит только от p и притом так, что

тогда, рассуждая так же, как в случае 3, находим, что

Вспоминая, что является разностью (см. формулу )

устанавливаем, что при любых k и

Очевидно также, что . Итак,

В связи с тем, что А и В входят в исходные соотношения (97) симметрично, совершенно аналогичные рассуждения приводят к равенствам

т. е. при любых k и

Равенства 1° и 2° доказаны.

Доказательство равенства 3°. Воспользуемся теперь равенством (103). С учетом (107), (111) и (112) оно дает

Учитывая, что получаем равенство

верное при любом Н.

Положив , имеем приняв , получаем в случае же имеем , поэтому окончательно

откуда следует, что

Учитывая, что для , получаем где — символ Кронекера, причем в силу (108) константа при любому имеет одно и то же значение с. Следовательно,

и равенство 3° доказано. Таким образом, полностью доказана и теорема Ли Хуачжуна.