§ 5. Динамические уравнения Эйлера

Начиная с этого параграфа, мы всегда будем считать, что оси направлены по главным осям тела для точки О. При таком выборе осей кинетическая энергия тела, как это было выяснено в § 3, может быть представлена формулой (43). Положим собираясь составить уравнения Лагранжа для тела с неподвижной точкой, прежде всего найдем, чему равны обобщенные силы, соответствующие эйлеровым углам.

Для того чтобы определить обобщенную силу, соответствующую какому-либо из эйлеровых углов, надо в соответствии с общим приемом определения обобщенных сил дать приращение этому углу (не меняя двух остальных углов), подсчитать работу всех приложенных сил при этом приращении и разделить затем работу приложенных сил на приращение угла. Но при таком приращении тело совершает малый поворот вокруг неподвижной оси, и поэтому работа равна главному моменту всех сил относительно этой оси, умноженному на приращение угла. Отсюда сразу следует, что обобщенными силами для этих эйлеровых углов являются моменты относительно осей, перпендикулярных плоскостям, в которых меняются эти углы, т. е.

Эти выражения для обобщенных сил показывают, что уравнения Лагранжа, вообще говоря, неудобны для описания движения тела с неподвижной точкой, так как первой обобщенной силой является момент относительно неподвижной в пространстве оси r, второй — момент относительно неподвижной в теле, но движущейся в пространстве оси , а третьей — момент относительно линии узлов N, которая перемещается и по отношению к неподвижному пространству, и по отношению к телу.

Понимая это, мы все же начнем вывод уравнений Лагранжа для того, чтобы перейти от них к более удобной для данного случая форме уравнений движения.

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла , т. е. обобщенной координаты . Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная равна

здесь учтено, что в силу соотношений , а в силу . Итак,

Подсчитаем теперь частную производную :

Из формул (56) и (57) следует, что для координаты уравнение Лагранжа имеет вид

Нам следовало бы теперь аналогичным образом подсчитать левые части уравнений Лагранжа для двух остальных обобщенных координат , подставить в правые части этих уравнений найденные выше моменты — обобщенные силы и постараться затем преобразовать полученные выражения так, чтобы из правых частей исключить моменты относительно оси z и относительно линии узлов, т. е. чтобы они были заменены моментами относительно осей . Выкладки, связанные с этим, громоздки, однако результаты можно получить сразу, не выписывая уравнений Лагранжа для координат , а рассуждая так же, как это делалось выше при получении равенств (46) из равенства (45).

Уравнение (58) содержит лишь элементы тензора инерции и проекции векторов и М на оси координат . Выше уже говорилось, что любые операции над тензорами и векторами инвариантны относительно циклической перестановки осей этой системы.

Выполняя по очереди две циклические перестановки осей, сразу выписываем еще два уравнения

Система уравнений которую мы теперь перепишем совместно,

носит название динамических уравнений Эйлера или просто уравнений Эйлера для тела с неподвижной точкой.

Обратим внимание на то, что эти уравнения можно трактовать просто как запись теоремы об изменении кинетического момента в проекциях на оси . Действительно, вспомним теорему об изменении кинетического момента:

Производная определяет скорость точки К конца вектора относительно неподвижной в пространстве (латинской) системы координат. Рассмотрим теперь движение этой точки К как сложное движение. Производная определяет абсолютную скорость точки К. Переносной является скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент точка К, а эта скорость равна , так как радиус-вектор , проведенный из неподвижной точки к точке К, равен как раз вектору . Относительной скоростью точки К служит скорость ее по отношению к греческой системе координат, связанной с телом. Обозначим скорость конца вектора Ко по отношению к этой греческой системе . Тогда в силу формулы (61) и обычных представлений о сложном движении имеем

Спроектируем теперь это векторное равенство на оси ; соответствующие проекции выписаны в табл. III на стр. 194.

Первая строка этой таблицы получается проектированием векторного произведения по обычным правилам. Далее учтено, что проекции вектора на оси греческой системы равны соответственно , и поэтому во второй строке проекции производной соответственно равны .

В силу табл. III проекции равенств (62) на оси сразу дают эйлеровы уравнения (60).

Моменты , стоящие в правых частях уравнений (60), являются, вообще говоря, функциями от эйлеровых углов, их производных и времени:

Поэтому уравнения (60) не являются замкнутой системой уравнений относительно введенных выше вспомогательных переменных - проекций угловой скорости p, q, r. Уравнения (60) совместно с уравнениями (53) представляют собой систему с шестью

Таблица III

неизвестными: тремя неизвестными служат интересующие нас координаты — эйлеровы углы, а остальными тремя неизвестными — вспомогательные переменные p, q, r. В этом смысле подразделение уравнений Эйлера на кинематические соотношения (53) и динамические уравнения (60) условно и неточно. Обе эти группы уравнений совершенно равноценны, и лишь совместно они описывают движение тел с неподвижной точкой.

Введение вспомогательных переменных p, q, r и использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера имеет несомненгые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных p, q, r; если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы как функции времени.

Известны лишь три частных случая, когда уравнения могут быть не только расщеплены на две независимые системы уравнений, о чем шла речь выше, но и интегрирование системы уравнений Эйлера (60) может быть доведено до квадратур при любых начальных данных, а именно — случай Эйлера, случай Лагранжа, случай Ковалевской.

В случае Эйлера тело с неподвижной точкой движется по инерции. Это имеет место тогда, когда действующие на тело силы сводятся к равнодействующей, которая все время проходит через неподвижную точку и, следовательно, не создает момента относительно этой точки.

В случае Лагранжа тело имеет ось симметрии , внешней силой служит вес, а центр тяжести и неподвижная точка лежат на оси симметрии. К этому случаю относится, например, движение симметричного волчка в поле тяжести.

В случае Ковалевской на свойства симметрии накладываются еще более сильные ограничения, именно, требуется, чтобы . В этом случае внешней силой также является вес, однако центр тяжести может быть расположен где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки.

В следующем параграфе мы рассмотрим движение тела по инерции (случай Эйлера), а в § 7 один важный вопрос, касающийся, в частности, и случая Лагранжа; случай Ковалевской, редко встречающийся в приложениях, рассматриваться нами не будет.