§ 6. Движение твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера)

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движение тела, у которого , и движение тела в случае, когда , т. е. когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. В случае мы будем говорить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако , т. е. имеет место динамическая симметрия.

1. Общий случай (отсутствие динамической симметрии).

В случае Эйлера главный момент приложенных сил относительно неподвижной точки равен нулю, и поэтому

система уравнений (60) становится автономной и может быть решена отдельно от системы (53). Но в этом случае мы располагаем двумя первыми интегралами уравнений движения, которые получаются в силу двух законов сохранения: закона сохранения кинетического момента и закона сохранения кинетической энергии.

Действительно, поскольку , из теоремы об изменении кинетического момента получаем

С другой стороны, элементарная работа всех приложенных сил равна нулю, т. е. , а значит, , т. е.

Из того факта, что при движении твердого тела по инерции вектор кинетического момента не меняется, следует, в частности, что не меняется и квадрат модуля этого вектора:

В связи с тем, что оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, имеем

поэтому

(64)

С другой стороны, в этом случае

(65)

Перенося в выражениях (64) и (65) члены, содержащие r, в правую часть равенства, получаем систему алгебраических уравнений относительно двух неизвестных :

Рассматривается случай . Поэтому определитель этой системы алгебраических уравнений (относительно )

отличен от нуля, так что ее можно решить, например, по правилу Крамера:

или

где выражения для функций получатся сразу, если в формулах (66) вычислить определители в числителе и знаменателе. Перемножая левые и правые части равенств (67) и извлекая затем квадратный корень, получаем

Обратимся теперь к последнему уравнению системы (60). Как уже указывалось выше, в правой части этого уравнения в рассматриваемом случае стоит нуль, а второй член левой части определен выражением (68). Подставив его в это уравнение, получим

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной величины r (проекции угловой скорости на ось ). В этом уравнении переменные разделяются, поэтому можно написать

Интегрируя это равенство, получаем

где S — постоянная интегрирования.

После подстановки в явной форме выражения в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от r и трех произвольных постоянных и определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно r, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение r. Тогда p и q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл.

Указанный прием позволяет найти введенные выше вспомогательные переменные — проекции p, q и r как функции времени и начальных данных, но для того чтобы представить себе картину движения твердого тела по инерции, надо было бы проинтегрировать теперь систему уравнений (53). Значительно удобнее «увидеть», каким образом фактически происходит движение твердого тела по инерции, воспользовавшись изящным геометрическим приемом, указанным Пуансо.

Рис. V.10.

Рассмотрим эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки О (рис. V.10). Назовем мгновенным полюсом P точку, в которой мгновенная ось пересекает этот эллипсоид инерции, обозначим через радиус-вектор точки P и положим

Координаты точки P, равные

должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции, т. е. уравнению

так как по условию — главные оси инерции для точки О. Подставляя в формулу (72) выражения (71), получаем

или

(74)

Покажем теперь, что проекция OS радиуса-вектора на направление постоянного вектора кинетического момента также не меняется во времени:

(75)

Теперь покажем, что нормаль N к эллипсоиду инерции в точке P параллельна вектору . Для этого вычислим проекции вектора-градиента

где F — левая часть уравнения (72). Проекции этого вектора-градиента пропорциональны проекциям вектора . так как проекции вектора равны

Из того, что нормаль к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору , следует, что плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в точке P, перпендикулярна вектору . Но выше было показано, что проекция вектора на направление Ко не меняется. Это значит, что касательная к эллипсоиду инерции плоскость все время пересекает постоянный вектор в одной и той же точке.

Таким образом, начальные условия задают направление вектора Ко и плоскость, которая пересекает вектор Ко и касается эллипсоида инерции. При движении тела эллипсоид инерции также движется вместе с телом, однако он всегда касается указанной плоскости, положение которой в пространстве не меняется. В силу того, что точка Р расположена на направлении вектора , т. е. на направлении мгновенной оси, скорость этой точки тела в любое мгновение равна нулю. Отсюда следует, что движение по инерции тела с неподвижной точкой всегда происходит так, что эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, вертится и катится без скольжения по неподвижной плоскости, положение которой в пространстве полностью определяется начальными данными.

Рассмотрим теперь случай, когда вектор направлен по одной из главных осей, т. е. когда

или

или

Каждое из этих движений удовлетворяет динамическим уравнениям Эйлера, и непосредственно видно, что если в случае Эйлера (т. е. при ) вектор в начальный момент направлен по главной оси инерции, то движение тела по инерции является вращением вокруг этой оси.

Такие движения называются перманентными вращениями тела.

2. Случай А=В (динамическая симметрия).

Рассмотрим теперь частный случай, когда тело имеет ось динамической симметрии. Так как ось симметрии всегда является главной осью инерции, ясно, что одна из осей греческой системы должна быть направлена по оси симметрии. Направим по ней ось . Учитывая, что , т. е. что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, из последнего уравнения системы (60) сразу получаем, что

(76)

а из использовавшегося выше соотношения

получаем

или, учитывая (76),

(77)

Проведем теперь плоскость П через вектор и ось (рис. V.11). Эта плоскость пересекает плоскость по прямой R. Спроектируем вектор на направление оси и на прямую R. Эти проекции, равные r и , в силу формул (76) и (77) не меняются при движении. Отсюда следует, что вектор о не меняется по величине и что угол между вектором и осью также не меняется.

Рис. V.11.

Покажем теперь, что при вектор кинетического момента Ко всегда (а не только в случае Эйлера!) лежит в плоскости П. Действительно, проекции вектора на оси равны соответственно, и так как в рассматриваемом случае , эти проекции пропорциональны проекциям вектора . Отсюда сразу следует, что проекция вектора Ко на плоскость отличается лишь на множитель А от проекции вектора на эту плоскость, т. е. что вектор также лежит в плоскости П.

Но, как уже было указано, в случае движения по инерции вектор неподвижен в пространстве, вектор же движется. Отсюда сразу следует, что во время движения по инерции симметричного твердого тела плоскость П вращается вокруг неподвижного направления — это направление задается вектором

Однако в случае Эйлера проекция вектора на направление вектора также постоянна:

(78)

а значит, угол между вектором и вектором не меняется. Выше уже было сказано, что не меняется и угол между вектором и осью .

Таким образом, во время движения по инерции симметричного твердого тела всегда существует плоскость П, в которой находятся векторы и . Абсолютные величины этих векторов, а также углы, которые они составляют с осью симметрии и между собой, сохраняют постоянное значение. Значит, изменение вектора о происходит лишь за счет вращения плоскости П вокруг неподвижного вектора .

Рассмотрим теперь плоскость П. Направим ось r по фиксированному направлению вектора , а ось вдоль оси симметрии тела. Угол между этими осями равен ; выше было показано, что и, значит, . Из равенства (52) следует, что в этом случае

Векторы направлены по осям и r соответственно (рис. V.8); положим и в силу равенства (79) разложим в плоскости П вектор на (рис. V.12). Модули этих векторов постоянны, так как модуль вектора , а также углы между и осями и z сохраняют постоянное значение. Таким образом, движение симметричного твердого тела по инерции можно рассматривать как сумму двух вращений с постоянными угловыми скоростями. Одно вращение происходит вокруг оси симметрии с угловой скоростью , а другое — вокруг постоянного направления кинетического момента с угловой скоростью .

Рис. V.12.

Движение, при котором симметричное тело с неподвижной точкой вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси материальной симметрии, а сама эта ось симметрии вращается с постоянной угловой скоростью вокруг какого-либо проходящего через неподвижную точку фиксированного направления, образуя с этим направлением постоянный угол , называется регулярной прецессией.

Неподвижная ось, вокруг которой вращается ось симметрии, называется осью прецессии.

Итак, движение по инерции симметричного твердого тела всегда является регулярной прецессией, ось которой совпадает с направлением кинетического момента. Угловая скорость называется угловой скоростью собственного вращения, а угловая скорость — угловой скоростью прецессии. Угловые скорости , угол и направление вектора полностью определяются начальными данными. Если эти данные таковы, что вектор в начальный момент направлен по главной оси инерции, то по этой же оси будет направлен и вектор (см. примечание на стр. 187—188). В этом случае будет происходить регулярная прецессия при , т. е. вращение вокруг стационарной оси.