§ 6. Плоское и плоскопараллельное движение

Иногда конкретные задачи сводятся к рассмотрению движения вырожденной двумерной твераой среды, при котором все точки среды во время Движения находятся в одной плоскости. Такое движение называется плоским. Плоское движение важно также и потому, что к нему сводится исследование плоскопараллельного движения обычной трехмерной среды.

Движение называется плоскопараллельным, если можно указать некоторую «базовую» плоскость, неподвижную относительно латинской среды и такую, что как бы ни была выбрана плоскость, параллельная базовой, точки греческой системы, расположенные в этой плоскости, при движении остаются все время в ней. В случае плоскопараллельного движения достаточно рассматривать движение точек только в одной из таких плоскостей, поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению плоского движения.

Этот параграф посвящен изучению некоторых особенностей плоского движения.

При изучении плоского движения удобно как латинскую, так и греческую систему координат выбирать в плоскости движения, т. е. обходиться двумя координатами и соответственно, и этим ввести в рассмотрение две «плоские среды» — неподвижную (латинскую) и подвижную (греческую). Очевидно, что положение плоской среды однозначно определяется положением двух ее точек.

Распределение скоростей греческой среды при плоском движении определяет

Теорема 4. При любом движении плоской среды (кроме поступательного) в каждое мгновение существует единственная точка, скорость которой равна нулю (мгновенный центр скоростей), а скорости всех остальных точек распределены так, как если бы среда в это мгновение вращалась вокруг мгновенного центра скоростей.

Рис. 1.19.

Доказательство. Рассмотрим две движущиеся точки плоской среды А и В, предположив сначала, что их скорости не параллельны (рис. 1.19). Проведем в точках А и В прямые, перпендикулярные и соответственно, и рассмотрим точку С их пересечения. Пусть — скорость этой точки среды. В силу теоремы 3, доказанной в § 4, проекции на указанные прямые должны быть равны проекциям на эти прямые соответственно, а они равны нулю, так как прямые перпендикулярны . Значит, скорость должна иметь нулевые проекции на две непараллельные прямые, что возможно лишь в том случае, когда эта скорость равна нулю. Точка С —единственная точка, скорость которой равна нулю, ибо в противном случае была бы неподвижна вся плоская среда, а мы предположили, что точки А и В движутся, т. е. что их скорости отличны от нуля.

При наличии точки С, скорость которой равна нулю, движущаяся плоская среда может лишь вращаться вокруг С. Угловая скорость этого вращения равна

где АС и ВС — расстояния от А и В до С. Скорость любой другой точки среды, например D, равна

где CD — расстояние от С до D.

Пусть теперь параллельны (рис. 1.20). Если они равны, т. е. если в среде есть две точки с одинаковыми скоростями, то и все остальные точки среды имеют ту же скорость , т. е. движение поступательно, а условием доказываемой теоремы этот случай исключен. Случай же, когда параллельны, но не равны, возможен лишь тогда, когда точки А и В расположены на прямой, перпендикулярной , так как в противном случае проекции этих скоростей на прямую, соединяющую А и В, не были бы равны. Остается поэтому рассмотреть лишь случай, представленный на рис. 1.20. Соединим концы векторов прямой и найдем точку С ее пересечения с прямой АВ. Скорость в точке С будет равна нулю.

Рис. 1.20.

Действительно, примем, как в доказательстве теоремы 3 (стр. 28), за точку А; тогда

или (движение плоское, скорости параллельны)

Аналогично

откуда

а по построению

так что

Теорема доказана.

Как уже было указано выше, при поступательном движении мгновенный центр скоростей находится в бесконечно удаленной точке плоскости; при любом ином движении он перемещается.

Следы мгновенных центров в плоскости образуют неподвижную центроиду, а в плоскости — подвижную центроиду. В каждое мгновение подвижная центроида касается неподвижной в мгновенном центре. Можно доказать, что во время движения греческой среды подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.

Возвращаясь к плоскопараллельному движению, проведем через мгновенный центр С прямую, перпендикулярную плоскостям; в которых движутся точки среды. Ясно, что мгновенные скорости всех точек этой прямой равны нулю, а мгновенные скорости всех остальных точек среды при плоскопараллельном движении таковы, как будто среда вращается вокруг этой прямой. Естественно поэтому такую прямую также называть мгновенной осью. Различие между плоскопараллельным движением и движением среды с неподвижной точкой состоит лишь в том, что при плоскопараллельном движении мгновенная ось перемещается параллельно самой себе и аксоиды представляют собой не конические, а цилиндрические поверхности (направляющими этих поверхностей являются неподвижная и подвижная центроиды соответственно).

Читателю предоставляется самому в полной аналогии со случаем движения с неподвижной точкой установить, как распределены ускорения в плоскопараллельном движении, и надлежащим образом ввести для плоскопараллельного движения «ось ускорений» (соответственно для плоского движения — «мгновенный центр ускорений»).