§ 5. Вариационный принцип Гамильтона

Рассмотрим (-мерное расширенное координатное пространство и выберем в этом пространстве две произвольные не совпадающие точки А и В, соответствующее моментам (рис. VII.2). Пусть некоторая динамическая система, движущаяся в потенциальном поле, задана ее лагранжианом (или гамильтонианом). Путь этой системы из точки А в точку В, удовлетворяющий соответствующим уравнениям Лагранжа (или каноническим уравнениям), называется прямым пишем (жирная линия на рис. VII.2).

Рис. VII.2.

Обратим внимание читателя на то, что вопрос о существовании прямого пути, ведущего из произвольной точки А в произвольную точку В, нетривиален. Ведь построение проводится в расширенном координатном пространстве; следовательно, выбор точки в нем определяет n координат, но не определяет скоростей или соответствующих импульсов. Поэтому выбор одной точки в расширенном координатном пространстве еще не предопределяет движения. В рассматриваемом случае задаются две точки (A и В), т. е. задается данных, но они относятся не только к начальной точке, а к начальной и конечной точкам в совокупности. Таким образом, для определения прямого пути получается не задача Коши об интегрировании системы дифференциальных уравнений по полной системе начальных данных, а краевая задача. К вопросу о существовании и единственности решения поставленной так задачи нам еще придется вернуться; пока же будем исходить из предположения, что прямой путь существует и является единственным.

Помимо прямого пути проведем произвольное семейство кривых, соединяющих точки А и В так, чтобы они совместно с прямым путем образовывали бы однопараметрическое семейство кривых. Обозначим через а параметр этого семейства и предположим, что прямой путь соответствует .

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Сравнивая возникающую так задачу с задачей, рассмотренной в § 4 при выводе общей формулы для приращения действия по Гамильтону, обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. VII.2) пергсекаются в начальной и в конечной точках А и В. Это значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра а, т. е.

поэтому в формуле (60) проинтегрированная часть обращается в нуль:

и общая формула для приращения функционала для такого пучка (рис. VII.2) принимает вид

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы; поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения.

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширгнного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей.

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение: если соответствующая кривая из пучка, представленного на рис. VII.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль.

Это последнее утверждение играет важную роль потому, что оно позволяет положить в основу классической механики в качестве исходного постулата не второй закон Ньютона (или его ковариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный принцип Гамильтона. Действительно, по крайней мере для движений в потенциальных полях, постулируя вариационный принцип Гамильтона, можно получить из него как следствие уравнения Лагранжа. В теоретической физике иногда оказывается удобным вводить исходную аксиоматику в форме соответствующего вариационного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения.

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине: оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования

где — «новые» координаты и время, q и t — «старые» координаты и время, а — достаточно гладкие функции. Предположим, что (62) разрешимы относительно новых переменных .

Пусть в «старых» координатах динамическая система имеет лагранжиан , и пусть решение соответствующих уравнений Лагранжа. В пространстве q, t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве им соответствует «новое» семейство кривых.

Поставим теперь следующие вопросы: всегда ли существует «новый» лагранжиан , такой, чтобы построенное указанным способом «новое» семейство кривых являлось решением «новых» уравнений Лагранжа с этим лагранжианом ?

Как определить «ноеый» лагранжиан по «старому» лагранжиану ?

Чтобы ответить на эти вопросы, выпишем действие по Гамильтону для «старой» системы

и выполним в нем замену переменной t на в соответствии с преобразованием (62). При этой замене используется соотношение , и поэтому

Таким образом, операция замены переменной t на эквивалентна подстановке в подынтегральное выражение зависимостей (62). В результате получаем

или

где функция равна

и где, в свою очередь,

а совпадает со знаменателем этой дроби.

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом , который определяется по формуле (64).

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62), а «новый» лагранжиан (как функция «новых» переменных) может быть вычислен по формуле (64), если известен «старый» лагранжиан (как функция «старых» переменных) и формулы преобразования (62).

Из формулы (64) следует, что «новый» лагранжиан получается из «старого» простой заменой переменных

тогда и только тогда, когда время не преобразуется, т. е. когда .

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и вычисляется по формуле (64), «новый» лагранжиан (как функция «новых» переменных), вообще говоря, отличается от «старого» лагранжиана (как функции «старых» переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них как функция «новых» переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция «старых» переменных, т. е.

и «новый» лагранжиан можно получить из «старого» просто «приписыванием звездочек» ко всем переменным. По отношению к таким специальным преобразованиям уравнения Лагранжа не только ковариантны, но и инвариантны. Эти соображения будут использованы в следующем параграфе при формулировке теоремы Э. Нётер.

Обратим теперь внимание читателя на то, что лагранжиан динамической системы определен с точностью до добавления к нему полной производной от произвольной функции q и t. Это утверждение имеет следующий смысл: динамические системы с лагранжианами L и имеют один и тот же прямой путь, какова бы ни была функция .

Действительно, рассмотрим действие

и действие

Вариации равны, поскольку в силу того, что как при , так и при все кривые рассматриваемого пучка (рис. VII.2) проходят через одну и ту же точку расширенного координатного пространства. Поэтому из того факта, что на прямом пути , следует, что на том же пути , а это значит, что одна и та же кривая является прямым путем для уравнений Лагранжа с лагранжианом L и с лагранжианом I.

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка — максимум, минимум или точка перегиба — достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути.

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь конечное число решений . При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются кинетическими фокусами, сопряженными с точкой А.

Рассмотрим какой-либо прямой путь, идущий из точки А в точку В. Если на этом прямом пути между точками А и В нет кинетического фокуса, то интересующий нас экстремум действия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками А и В на прямом пути расположен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно; в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа.

Приводя здесь без доказательства эти краткие сведения о связи между особенностями возникающей стационарной точки с особенностями краевой задачи, определяющей прямой путь, приведем лишь два примера, разъясняющих, каким образом в задачах механики появляются кинетические фокусы.

Пример 1. Рассмотрим движение материальной точки по инерции на сфере (рис. VII.3); известно, что траекториями такого движения всегда служат дуги больших кругов. Выберем на сфере произвольную точку А и отметим диаметрально противоположную ей точку А. Через точку А и любую иную точку В сферы, не совпадающую с А, можно провести лишь один большой круг, а через точки А и — бесконечное множество больших кругов.

В качестве обобщенных координат возьмем углы — «долготу» и «широту». В расширенном координатном пространстве отметим в момент координаты , точки А.

Будем считать далее, что в момент материальной точке придана начальная скорость и что в момент материальная точка впервые достигает точки А с координатами .

Отметим в расширенном координатном пространстве точки и т. д. Если изменять направление начальной скорости , сохраняя ее величину, то в расширенном координатном пространстве будет определено множество прямых путей, проходящих через все эти точки. Через любую ииую точку расширенного координатного пространства проходит лишь один из прямых путей.

Рис. VII.3.

Теперь непосредственно видно, что точка является кинетическим фокусом для точки .

Обратимся вновь к рис. VII.3. Из точки А в точку В ведут два прямых пути — по меньшей и по большей дугам большого круга; выбор одного из них определяется направлением начальной скорости. Путь по меньшей дуге не проходит через точку А, и на этом пути действие по Гамильтону достигает минимума; путь по большей дуге проходит через кинетический фокус А, и на этом пути действие также достигает стационарного значения, но уже не минимально.

Пример 2. Рассмотрим линейный осциллятор, т. е. линейную колебательную систему с одной степенью свободы, описываемую уравнением

Если в момент положить q(0)=0, то все возможные пути q(t), отличающиеся значением начальной скорости , пересекаются в моменты , где период колебаний (рис. VII.4).

Поэтому точка является кинетическим фокусом для начальной точки если прямой путь выбирается, исходя из краевых условий , то на зтом пути действие минимально (по сравнению с окольными путями); если же прямой путь определяется краевыми условиями , то по-прежнему прямой путь является единственным, по-прежнему на этом пути действие достигает стационарного значения, но уже не минимума.

Рис. VII.4.

Этот пример легко обобщить. Рассмотрим малые колебания консервативной системы, имеющей n степеней свободы, около положения устойчивого равновесия. В гл. VI было показано, что при движении такой системы

где — амплитудные секторы.

Рассмотрим два несовпадающих прямых пути, ведущих из точки в точку . Этим двум прямым путям соответствуют два несовпадающих набора чисел :

Из условия

получаем

или

Амплитудные векторы линейно независимы; поэтому все выражения в квадратных скобках должны быть равны нулю:

Аналогично из условия

получаем

Итак, мы получили систему из уравнений относительно .

Пусть для всех , кроме тогда в этой системе из 2n уравнений 2(n — 1) уравнений обращаются в тождества вида , и остаются два уравнения

с «неизвестными» . Если

то эта система имеет лишь тривиальное нулевое решение и исследуемые прямые пути совпадают.

Если , то существует бесчисленное множество решений (при ), для которых . В этом случае краевым условиям

удовлетворяют несовпадающие пути

Перебирая таким образом индексы , в случае n несоизмеримых частот находим n кинетических фокусов, сопряженных с начальной точкой .