§ 2. Вывод уравнений Лагранжа

Прежде чем приступить к выводу ковариантной записи уравнений движения — уравнений Лагранжа, получим два вспомогательных равенства.

Дифференцируя равенство (9) по t, получаем

Рассматривая как независимые переменные и дифференцируя по ним равенство (13), получаем первое вспомогательное соотношение

Обратимся снова к формуле (13) и выпишем частную производную от левой и правой части этого равенства по

В силу формулы (9) частная производная от радиуса-вектора по также является функцией всех «новых» координат .

Рассмотрим теперь полную производную по времени от этой частной производной

Правые части формул (15) и (16) совпадают; следовательно, должны совпадать и левые их части:

Формула (17) и является вторым искомым вспомогательным соотношением.

Приступим теперь к выводу уравнений Лагранжа. Если «старая» система отсчета с декартовыми координатами инерциальна, то в ней верен второй закон Ньютона в его обычной записи

Выразим, используя соотношение (13), все через новые координаты, их производные и время, подставим полученные функции в равенства (18), скалярно умножим каждое из этих равенств на частную производную и сложим результаты:

Полагая , можно выписать таких равенств.

Обозначим через скалярные функции в правых частях равенств (19):

Механический смысл функций будет выяснен далее. Левые части равенств (19) запишем так:

Воспользовавшись этой записью и полученными выше вспомогательными соотношениями (14) и (17), перепишем равенства (19) в следующем виде:

или

В этих равенствах сумма

совпадает с выражением для кинетической энергии Т системы, записанной в «новых» координатах. Поэтому окончательно получаем

Левые части уравнений (22) и их еывод сходны с правыми частями равенств (17) из гл. I и их выводом. Это сходство не случайно. Оно связано со следующей интерпретацией уравнений (22).

Введем в рассмотрение -мерное пространство . Каждому положению системы из N точек соответствует одна точка в этом -мерном пространстве.

Если в равенстве (9) зафиксировать все , кроме какой-либо одной координаты , и изменять эту выделенную координату , то в рассматриваемой точке -мерного пространства будет построена -кривая, а касательная к ней будет осью . Действуя совершенно так же, как и в гл. I для трехмерного пространства, можно теперь с каждой точкой -мерного пространства связать осей . Дословно повторяя вывод из гл. I (стр. 19, 20), можно получить вновь формулу (17) из гл. I, но теперь в ней надо индекс всюду заменить на , при определении считать -мерным вектором , а в коэффициентах Ламе считать -мерным вектором, . Формула (17) из гл. I определяет тогда проекции -мерного вектора ускорения на ось для этого -мерного случая.

Если представить второй закон Ньютона в ной записи

и, умножив его скалярно на орт оси спроектировать его на ось то, воспользовавшись указанным выше обобщением формулы (17) гл. I, легко получить уравнения (22). В этом смысле уравнения (22) представляют собой просто запись второго закона Ньютона в проекциях на оси .

Уравнения (22) называются уравнениями Лагранжа. Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей; подробнее см. далее) оно в точности равно , т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат и выписаны в произвольных независимых «новых» координатах .

Уравнения Лагранжа содержат функций. Этими функциями являются и кинетическая энергия Т. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, нужно выразить эти функции через координаты , производные от этих координат и время. Таким образом, уравнения выписываются совершенно одинаково для любой системы координат, и различие в выборе координат сказывается лишь на виде функций, входящих в эти уравнения. Поэтому уравнения Лагранжа ковариантны относительно любого точечного преобразования координат.

Выясним механический смысл величин :

где являются функциями и t в силу равенств (8).

Умножая каждое из этих равенств на соответствующее и складывая все такие равенства, получаем

Сумма в правой части этого равенства равна элементарной работе всех сил системы при предположении, что время t «заморожено», т. е. что при подсчете считается и поэтому заменены на .

Всюду ранее, говоря об элементарной работе, мы имели в виду работу сил, приложенных к точкам системы, при бесконечно малых перемещениях этих точек вдоль их траекторий.

Иначе говоря, дифференциалы были не произвольными бесконечно малыми приращениями векторов , а удовлетворяли следующему условию: конец вектора описывает траекторию точки. В данной главе понятие элементарной работы имеет иной смысл: здесь мы предполагаем, что — независимые бесконечно малые приращения радиуса-вектора и не ограниченные условием движения точки вдоль траектории. Элементарная работа всех сил системы, подсчитанная для произвольных независимых приращений при , называется виртуальной работой и обозначается . Поэтому формулу (24) можно записать так:

Выражение (25) по своей структуре напоминает исходное определение элементарной работы, но только вместо дифференциалов радиусов-векторов в нем стоят дифференциалы «новых» координат , а вместо сил — множители кроме того, суммирование ведется не по всем точкам системы, а по всем «новым» координатам. Таким образом, виртуальную работу всех сил, действующих на систему, можно выразить в «новых» координатах, но при этом роль сил играют множители , определенные формулами (23). Поэтому множители называются обобщенными силами.

Сделаем теперь несколько замечаний по поводу понятия обобщенной силы.

Замечание 1. Если в качестве «новых» координат взять декартовы координаты, т. е. положить

то преобразование (8) будет тождественным преобразованием декартовых координат в себя и, как легко видеть, обобщенные силы в силу формул (23) будут совпадать с проекциями сил на оси:

Замечание 2. Размерность обобщенной силы, вообще говоря, не совпадает с размерностью силы. Из формулы (25) ясно, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность координаты . Если координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В тех случаях, когда координатой является угол, размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента силы.

3 амечание 3. При практическом подсчете обобщенных сил часто бывает проще не пользоваться формулой (23), а использовать тот факт, что новые координаты q являются независимыми, и фиксировать все координаты, кроме какой-либо одной координаты, скажем , а координате дать приращение положив, таким образом, .

Далее надо подсчитать элементарную работу всех сил. Тогда в силу формулы , откуда . Давая таким образом поочередно приращение каждой из новых координат (и предполагая при этом, что приращения всех остальных координат равны нулю), можно по очереди подсчитать все обобщенные силы.

В качестве примера рассмотрим плоское движение материальной точки в полярной системе координат (рис. IV.1). В этом случае . Для подсчета обобщенных сил дадим сначала приращения . Тогда и, следовательно,

где — проекция вектора F на направление радиуса-вектора . Дадим теперь приращения . Тогда и поэтому

т. е. обобщенной силой для полярного угла является модуль момента силы F относительно начала координат О.

Рис. IV.1.

Непосредственно ясно, что всегда, когда обобщенная координата q является плоским углом, соответствующая сила Q будет проекцией главного момента на ось, перпендикулярную плоскости угла q. Действительно, элементарная работа сил системы при повороте вокруг оси равна произведению элементарного угла поворота на сумму моментов всех приложенных сил относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой происходит поворот.

Замечание 4. Рассмотрим теперь случай, когда все силы потенциальны. Это означает существование такой функции П от декартовых координат всех точек системы и, быть может, , что

Подставляя в (23) выражения (26), получаем

Заменим в II аргументы на и обозначим через функцию от всех q и t, которая получится в результате такой замены. Эту функцию мы будем называть потенциалом. Сразу видно, что сумма в выражении (27) совпадаете частной производной . Поэтому всегда, когда силы , потенциальны, существует функция от «новых» координат q и t, такая, что

Иначе говоря, если исходные силы потенциальны, то и обобщенные силы являются потенциальными.

«Новая» потенциальная энергия V может зависеть не только от «новых» координат q, но и от времени t даже в том случае, когда «исходная» потенциальная энергия П не зависит явно от t (т. е. когда система является консервативной). Такая ситуация может возникнуть при преобразованиях (8), содержащих t в явной форме. «Новая» потенциальная энергия V заведомо не будет зависеть явно от t, если выполнены два условия: исследуемая система консервативна и не входит явно в формулы преобразования координат (8).

Вернемся к уравнениям Лагранжа (22) и рассмотрим случай, когда движение изучаемой системы происходит в потенциальном поле и все силы потенциальны. Для систем такого рода, как указывалось выше, все обобщенные силы также потенциальны, т. е. для них имеют место равенства (28). Подставляя в уравнения Лагранжа (22) выражения (28) для обобщенных сил, получаем

В связи с тем, что функция V зависит только от «новых» координат q и t и не зависит от «новых» скоростей q, эти уравнения могут быть переписаны следующим образом:

где

Функция , равная разности кинетической и потенциальной энергии системы после преобразования их к «новым» координатам, является функцией «новых» координат, их производных и, быть может, времени. Функция эта носит название функции Лагранжа, лагранжиана или кинетического потенциала системы. Таким образом, в случае движения в потенциальных полях уравнения Лагранжа имеют более простой вид (29) и содержат только одну функцию — лагранжиан системы, вид которой зависит от выбора системы координат.

Рассмотрим теперь случай, когда система движется в потенциальном поле и, кроме того, находится под действием непотенциальных сил. В этом случае, в силу линейности всех операций, с которыми связан подсчет обобщенных сил , последние можно представить как сумму двух слагаемых

где — потенциальные части обобщенных сил, определяемые формулами (28), — непотенциальные части обобщенных сил.

Подставляя выражения (31) в правые части уравнений (22), получаем

где функция L по-прежнему определяется формулой (30).

Для того чтобы выписать уравнения Лагранжа для некоторой конкретной системы, нужно произвести следующие операции.

1. Выбрать систему независимых координат , в которых хотят записать уравнения движения.

2. Найти обобщенные силы так, как это было описано в предыдущем параграфе. Если исходные силы были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил нужно выразить декартовы координаты точек и их производные через «новые» координаты и их производные с помощью формул (8) и (11).

Рис. IV.2.

3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию «новых» координат скоростей и, быть может, t.

Чтобы найти ее, часто оказывается удобным вычислить сначала кинетическую энергию системы в декартовых координатах, а затем перейти от декартовых координат и их производных к «новым» координатам, используя уравнения преобразования (8). При этом дифференцирование осуществляется по формулам (11), т. е. учитывается зависимость и от явно входящего времени.

4. Произвести указанные в формулах (22) частное и полное дифференцирование, т. е. подставить полученные выше выражения для кинетической энергии и обобщенных сил в уравнения Лагранжа.

Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции «новых» координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова выразив декартовы координаты и их производные через «новые» координаты, выписать лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29).

Указанную выше последовательность действий, позволяющую для любой системы координат, действуя стандартным образом, выписать уравнения движения, называют иногда лагранжевым формализмом.

Рассмотрим простой пример составления уравнений Лагранжа. Составим уравнение плоского движения материальной точки в полярных координатах (рис. IV.2). В данном случае

Обобщенные силы для этого случая (см. выше) равны

Определим теперь кинетическую энергию системы (см. рис. )

Выражая скорости через полярные координаты, получаем

поэтому кинетическая энергия системы в «новых» (в данном примере в полярных) координатах равна

Подставив выражение кинетической энергии и выражения обобщенных сил (33) в уравнения Лагранжа (22), после выполнения частного и полного дифференцирования получим уравнение движения рассматриваемой материальной точки под действием силы F в полярных координатах:

Конечно, эти уравнения можно было бы получить непосредственно из уравнений (1) или (2), выписанных для плоского движения материальной точки; здесь они получены с помощью стандартной процедуры — лагранжева формализма.

Предположим теперь, что рассматриваемое движение материальной точки происходит в поле тяготения с центром , расположенным в начале координат. В этом случае потенциальная энергия выражается формулой (см. гл. III)

и поэтому лагранжиан имеет вид

Подставляя это выражение в формулы (29) и выполняя частное и полное дифференцирование, получаем окончательно уравнения плоского движения материальной точки в центральном поле тяготения:

В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. При переходе от какой-либо системы отсчета, например от декартовых координат, введенных в некоторой «геометрической твердой среде» (см. гл. I), к другой системе координат, выбранной в этой же «среде» (либо в любой иной «геометрической твердой среде», движущейся относительно исходной), всегда можно выписать конкретные формулы преобразования вида (9). Обратное утверждение не верно: в нестационарном случае можно указать преобразования (9), которые не удается трактовать как переход к некоторой новой системе отсчета, одной и той же для всех точек системы.

Сила лагранжева формализма как математического описания состоит, в частности, в том, что он безразличен к тому, почему и каким образом возникли формулы преобразования (9). До тех пор, пока рассматриваются системы без механических связей (см. § 5 этой главы), в задачах механики возникают лишь формулы (9) специального вида — они предопределяются способом, каким в механике вводятся системы отсчета (см. гл. I), но учет этих ограничений не интересен, так как класс возможных преобразований (9) существенно расширяется в случае учета механических связей.