Глава VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

§ 1. Введение

Эта глава посвящена изучению движений материальной системы в том случае, когда все внешние и внутренние силы, действующие на точки системы, потенциальны, т. е. когда существует функция координат точек системы и, быть может, времени

такая, что для каждой точки системы проекции равнодействующей приложенных к ней сил могут быть представлены так:

Если функция (1), удовлетворяющая условиям (2), существует, то говорят, что движение системы происходит в потенциальном поле с силовой функцией (1) и с потенциальной энергией

В предыдущих главах были установлены следующие важные факты, касающиеся движений в потенциальных полях.

1° Если в «исходных» декартовых координатах существует потенциальная функция (1), то при любом выборе «новых» (обобщенных) координат существует функция , такая, что

Чтобы найти эту функцию , надо в выражении для заменить все декартовы координаты точек их выражениями через обобщенные координаты, используя формулы преобразования (8) из гл. IV.

2° Уравнения Лагранжа, описывающие движение в потенциальных полях, имеют вид

где — лагранжиан системы.

Уравнения (4) описывают движения как в стационарном, так и в нестационарном поле.

3° Если поле стационарно, т. е. если П не зависит явно от времени, то система консервативна. При движении консервативной системы ее полная энергия Е, подсчитанная относительно декартовой системы координат, не изменяется. Этим же свойством обладает полная энергия консервативной системы Е, подсчитанная относительно любой иной системы координат , если преобразование «новых координат» q в декартовы стационарно, т. е. не зависит явно от времени. В этом случае — квадратичная форма от обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат,

и уравнения Лагранжа (4) приводятся к виду

где означает совокупность членов, зависящих лишь от q и , но не зависящих от .

В силу теоремы, доказанной в § 3 гл. IV,

и поэтому система (5) алгебраически разрешима относительно старших производных, т. е. может быть представлена в виде

и, как и в общем случае уравнений Лагранжа, начальное состояние системы, т. е. совокупность всех при , полностью определяет последующее движение.

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые обшие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам . § 5 гл. IV). Это связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что лагранжиан имеет вид .

Но в любом случае будет предполагаться, что

т. е. что уравнения Лагранжа могут быть разрешены относительно и представлены в виде уравнений (6).