Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона. Циклические координатыВ предыдущих главах мы уже встречались с понятием первого интеграла уравнений движения. Роль таких первых интегралов играли различные функции, которые во время движения не изменяются в силу законов сохранения — закона сохранения количества движения (импульса), закона сохранения момента количества движения (кинетического момента системы), закона сохранения механической энергии и т. д. Формулы, выражающие эти законы, содержат лишь координаты и их первые производные, но не содержат вторых производных от координат. В предыдущих главах приводились примеры того, как можно использовать законы сохранения для упрощения уравнений движения, а в некоторых случаях для полного определения движения в обход трудностей, с которыми сопряжено интегрирование дифференциальных уравнений движения в общем виде. Произвольная функция от гамильтоновых переменных — времени, координат и обобщенных импульсов — называется первым интегралом уравнений движения, если во время любого движения значение этой функции не меняется,
т. е. если при подстансвке в нее вместо координат и обобщенных импульсов решений уравнений Гамильтона Предположим, что задано m первых интегралов
Среди этих m интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если
В этом случае все координаты и обобщенные импульсы полностью определены как функции времени и Если система первых интегралов (27) содержит менее Определим теперь условия, которым должна удовлетверять какая-либо функция гамильтоновых переменных для того, чтобы быть первым интегралом уравнений движения. Предположим, что некоторая функция Дифференцируя обе части равенства
Назовем скобкой Пуассона двух функций
Выражение, стоящее в формуле (28) под знаком второй суммы, представляет собой скобку Пуассона от функции
Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда
Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым — он получается как следствие уже имевшихся ранее m первых интегралов. Поэтому такое «размножение» первых интегралов уравнений движения лишено смысла. Иной прием для получения новых первых интегралов из уже известных связан с введенным выше понятием скобки Пуассона. Пусть f и Теорема (Якоби — Пуассона). Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения. Доказательство. При доказательстве теоремы Якоби — Пуассона будут использованы следующие четыре свойства скобок Пуассона:
Первые три равенства сразу следуют из свойств определителей, входящих в формулу (29), а равенство 4° непосредственно проверяется по этой формуле. Теорема Якоби—Пуассона утверждает по существу, что из равенств
следует равенство
Используем сначала свойство
Из предположений теоремы (31) и из свойств 1° и 2° следует тогда, что
Поэтому левая часть равенства (32) сводится к виду
т. е. в силу свойства 4° равна 0. Теорема доказана. Теорема Якоби — Пуассона позволяет «накапливать» новые первые интегралы. Действительно, составляя разные скобки Пуассона из уже известных первых интегралов, можно получить новые интегралы; затем можно составить скобки Пуассона от каждой пары так полученных первых интегралов или от них и «старых» первых интегралов и т. д. Казалось бы, процесс этот может продолжаться неограниченно долго, и таким образом может быть получено сколь угодно много новых первых интегралов. Однако среди интегралов, которые получаются путем составления скобок Пуассона, могут быть как независимые первые интегралы, так и зависимые от уже известных первых интегралов. Для упрощения уравнений движения нужны лишь независимые первые интегралы, а их не более чем В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан H является интегралом уравнений движения; поэтому если некоторая функция
Повторив это рассуждение, но взяв вместо функции f ее частную производную по t, получим такое же утверждение для второй частной производной по времени и т. д. В качестве примера того, как получаются и каким образом используются первые интегралы уравнений движения, рассмотрим важный вопрос о циклических координатах. Координата
т. е.
Это равенство означает, что импульс, соответствующий циклической координате, не изменяется во время движения. Следовательно, каждый раз, когда система имеет циклическую координату, существует и первый интеграл уравнений движения. В данном случае функция (27) тождественно равна импульсу, соответствующему циклической координате. Пусть система имеет m циклических координат, и пусть
— координаты нециклические, а
— координаты циклические. Гамильтониан системы в данном случае зависит от нециклических координат (33) и от их импульсов. Действительно, в выражении для гамильтониана циклические координаты (34) не содержатся по условию, а соответствующие им импульсы хотя и содержатся, но в силу уравнений Гамильтона могут быть заменены m константами
В силу этого можно выписать независимую систему канонических уравнений для нециклических координат:
Таких уравнений будет 2(n—m), и они представляют собой систему замкнутых уравнений, совершенно не зависящих от циклических координат, а вместо циклических импульсов правые части этих уравнений содержат m произвольных постоянных. Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят от 2(n—m) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2(n—m), и, кроме того, от m произвольных постоянных
Воспользовавшись выражением (35) для гамильтониана, составим уравнения Гамильтона для циклических координат
и, учитывая выражения (37), получим
В равенствах (38) переменные разделяются, т. е. каждое из уравнений (38) можно представить в виде
Зависимость циклических координат от времени находится интегрированием:
Циклические импульсы в данном случае не требуется определять — они просто равны произвольным постоянным Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, «отщепить» часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.
|
1 |
Оглавление
|