§ 3. Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона. Циклические координаты

В предыдущих главах мы уже встречались с понятием первого интеграла уравнений движения. Роль таких первых интегралов играли различные функции, которые во время движения не изменяются в силу законов сохранения — закона сохранения количества движения (импульса), закона сохранения момента количества движения (кинетического момента системы), закона сохранения механической энергии и т. д.

Формулы, выражающие эти законы, содержат лишь координаты и их первые производные, но не содержат вторых производных от координат. В предыдущих главах приводились примеры того, как можно использовать законы сохранения для упрощения уравнений движения, а в некоторых случаях для полного определения движения в обход трудностей, с которыми сопряжено интегрирование дифференциальных уравнений движения в общем виде.

Произвольная функция от гамильтоновых переменных — времени, координат и обобщенных импульсов — называется первым интегралом уравнений движения, если во время любого движения значение этой функции не меняется,

(26)

т. е. если при подстансвке в нее вместо координат и обобщенных импульсов решений уравнений Гамильтона эта функция тождественно обращается в константу, зависящую только от начальных данных .

Предположим, что задано m первых интегралов

(27)

Среди этих m интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы — и представлена в виде

В этом случае все координаты и обобщенные импульсы полностью определены как функции времени и констант. Эти константы могут рассматриваться как произвольные постоянные, обычным образом определяемые по начальным данным. Поэтому первых интегралов полностью определяют движение системы при любых начальных данных.

Если система первых интегралов (27) содержит менее равенств, т. е. если , то знания m первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для того, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение.

Определим теперь условия, которым должна удовлетверять какая-либо функция гамильтоновых переменных для того, чтобы быть первым интегралом уравнений движения.

Предположим, что некоторая функция является первым интегралом уравнений движения. Вычислим производную , где — решения уравнений Гамильтона.

Дифференцируя обе части равенства по времени и используя уравнения Гамильтоиа (20), получаем

условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция была первым интегралом. Его можно записать компактнее, если ввести понятие скобки Пуассона.

Назовем скобкой Пуассона двух функций от гамильтоновых переменных и обозначим через выражение следующего вида:

Выражение, стоящее в формуле (28) под знаком второй суммы, представляет собой скобку Пуассона от функции и гамильтониана H. Поэтому условие (28) можно переписать так:

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда , центральной является задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд эта задача кажется несложной. Действительно, если взять произвольную функцию m переменных и подставить вместо этих переменных известные нам m первых интегралов, то в результате получится новая функция гамильтоновых переменных, которая также будет сохранять неизменное значение во время движения

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым — он получается как следствие уже имевшихся ранее m первых интегралов. Поэтому такое «размножение» первых интегралов уравнений движения лишено смысла.

Иной прием для получения новых первых интегралов из уже известных связан с введенным выше понятием скобки Пуассона.

Пусть f и — первые интегралы. Составим из них скобку Пуассона (29).

Теорема (Якоби — Пуассона). Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения.

Доказательство. При доказательстве теоремы Якоби — Пуассона будут использованы следующие четыре свойства скобок Пуассона:

Первые три равенства сразу следуют из свойств определителей, входящих в формулу (29), а равенство 4° непосредственно проверяется по этой формуле.

Теорема Якоби—Пуассона утверждает по существу, что из равенств

следует равенство

Используем сначала свойство :

Из предположений теоремы (31) и из свойств 1° и 2° следует тогда, что

Поэтому левая часть равенства (32) сводится к виду

т. е. в силу свойства 4° равна 0. Теорема доказана.

Теорема Якоби — Пуассона позволяет «накапливать» новые первые интегралы. Действительно, составляя разные скобки Пуассона из уже известных первых интегралов, можно получить новые интегралы; затем можно составить скобки Пуассона от каждой пары так полученных первых интегралов или от них и «старых» первых интегралов и т. д.

Казалось бы, процесс этот может продолжаться неограниченно долго, и таким образом может быть получено сколь угодно много новых первых интегралов. Однако среди интегралов, которые получаются путем составления скобок Пуассона, могут быть как независимые первые интегралы, так и зависимые от уже известных первых интегралов. Для упрощения уравнений движения нужны лишь независимые первые интегралы, а их не более чем . Поэтому из первых интегралов, которые получаются при помощи теоремы Якоби — Пуассона, нужно отбирать независимые.

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан H является интегралом уравнений движения; поэтому если некоторая функция — интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона и из условия (30) следует, что

Повторив это рассуждение, но взяв вместо функции f ее частную производную по t, получим такое же утверждение для второй частной производной по времени и т. д.

В качестве примера того, как получаются и каким образом используются первые интегралы уравнений движения, рассмотрим важный вопрос о циклических координатах.

Координата называется циклической, если лагранжиан (а значит, и гамильтониан) системы не зависит явно от этой координаты, т. е. для циклических координат имеют место равенства , и поэтому уравнение Лагранжа принимает вид

т. е.

Это равенство означает, что импульс, соответствующий циклической координате, не изменяется во время движения. Следовательно, каждый раз, когда система имеет циклическую координату, существует и первый интеграл уравнений движения. В данном случае функция (27) тождественно равна импульсу, соответствующему циклической координате.

Пусть система имеет m циклических координат, и пусть

— координаты нециклические, а

— координаты циклические. Гамильтониан системы в данном случае зависит от нециклических координат (33) и от их импульсов. Действительно, в выражении для гамильтониана циклические координаты (34) не содержатся по условию, а соответствующие им импульсы хотя и содержатся, но в силу уравнений Гамильтона могут быть заменены m константами :

В силу этого можно выписать независимую систему канонических уравнений для нециклических координат:

Таких уравнений будет 2(n—m), и они представляют собой систему замкнутых уравнений, совершенно не зависящих от циклических координат, а вместо циклических импульсов правые части этих уравнений содержат m произвольных постоянных.

Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят от 2(n—m) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2(n—m), и, кроме того, от m произвольных постоянных , которые с самого начала входили в выражение для функции H в силу (35):

Воспользовавшись выражением (35) для гамильтониана, составим уравнения Гамильтона для циклических координат

и, учитывая выражения (37), получим

В равенствах (38) переменные разделяются, т. е. каждое из уравнений (38) можно представить в виде

Зависимость циклических координат от времени находится интегрированием:

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять — они просто равны произвольным постоянным . При интегрировании вносится m дополнительных произвольных постоянных . Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно , т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии m циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на , поскольку уравнения (36) для нециклических координат «отщепляются», и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью m независимых квадратур (39).

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, «отщепить» часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры.

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.