§ 3. Кинетическая энергия и кинетический момент твердого тела, имеющего неподвижную точку

Прежде чем приступить в следующем параграфе к исследованию уравнений движения тела с неподвижной точкой, мы рассмотрим, как вычисляют при таком движении две его основные характеристики: кинетическую энергию и вектор кинетического момента.

Свяжем с телом оси декартовой системы координат с началом в неподвижной точке. В каждое мгновение скорости тела распределены так, как будто происходит вращение относительно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой скоростью, и поэтому существует вектор угловой скорости .

Предположим теперь, что в некоторое мгновение орт угловой скорости имеет направляющие косинусы, равные , так что проекции вектора угловой скорости на оси системы координат, связанной с телом, соответственно равны

(40)

Проекции вектора угловой скорости на оси связанной с телом системы будут иметь большое значение во всем дальнейшем изложении. Именно, они будут играть роль вспомогательных координат, при помощи которых мы запишем далее уравнения движения тела с неподвижной точкой. Поэтому существенно выразить основные функции, характеризующие движение, - скалярную функцию (кинетическую энергию) и векторную функцию (кинетический момент) — через эти переменные .

1. Кинетическая энергия. Если известен момент инерции тела относительно мгновенной оси , то кинетическая энергия тела, разумеется, равна

Однако изменяется во времени, так как мгновенная ось перемещается относительно тела. Выразим поэтому кинетическую энергию не через момент инерции , а через элементы тензора инерции для неподвижной точки и закрепленных в теле осей , т. е. через А, В, С, D, Е, F.

Момент инерции может быть выражен через элементы этого тензора при помощи формулы (39). Подставив это выражение для в формулу (41), получим

Воспользовавшись далее соотношениями (40), имеем

Если оси являются главными осями инерции для неподвижной точки, то в этом (и только в этом) случае и формула (42) принимает более простой вид

Следовательно, кинетическая энергия тела с неподвижной точкой в общем случае не равна сумме кинетических энергий трех вращений, происходящих относительно трех связанных с телом осей с угловыми скоростями, равными проекциям угловой скорости тела на эти оси. Такое простое соотношение получается лишь в том исключительном случае, когда оси, связанные с телом, совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки. При любом ином выборе связанных осей необходимо учитывать еще дополнительные члены, обусловленные центробежными моментами инерции и выписанные в формуле (42).

момент. Из определения кинетического момента имеем

Раскрывая это двойное векторное произведение, получаем

Спроектируем левую и правую части векторного равенства (44) на ось

Выражения в скобках в первой сумме равны квадратам расстояний до оси , и следовательно, эта сумма представляет собой момент инерции относительно оси , т. е. А. Аналогично вторая и третья суммы образуют центробежные моменты инерции F и Е соответственно. Поэтому

Далее можно было бы совершенно аналогично спроектировать равенство (44) сначала на ось , а затем на ось и определить так выражения для и . Можно, однако, поступить иначе. Правая часть выражения (45) содержит лишь элементы тензора инерции относительно осей и проекции вектора на эти же оси, а левая часть — проекцию на одну из этих осей вектора . Все операции над векторами и тензорами инвариантны относительно циклической перестановки осей, лишь бы при этом не менялась взаимная ориентация осей, т. е. правая система координат переходила в правую же систему.

Дважды выполняя циклическую перестановку осей, т. е. элементов тензора инерции и проекций векторов в равенстве (45), получаем два аналогичных равенства, так что в конечном итоге

Формулы (46) определяют кинетические моменты тела относительно связанных с ним осей через проекции угловой скорости на эти оси и элементы тензора инерции.

В том и только в том случае, когда оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, центробежные моменты равны нулю и формулы (46) превращаются в обычные соотношения

Таким образом, кинетические моменты относительно осей, связанных с телом, вообще говоря, не могут быть определены как произведения проекции угловой скорости на соответствующую ось на момент инерции тела относительно оси. Такое простое определение кинетических моментов относительно осей, связанных с телом, возможно лишь в указанном выше исключительном случае, когда эти оси являются главными.

Рассмотрим теперь взаимное расположение двух векторов: вектора угловой скорости и вектора кинетического момента Их проекции на главные оси инерции таковы: вектор : ; вектор : .

Отсюда сразу следует, что направления этих векторов, вообще говоря, не совпадают.

Направления векторов совпадают лишь в том случае, когда вектор направлен вдоль одной из главных осей, например вдоль оси (либо , либо же ), т. е. когда из трех проекций угловой скорости на эти оси две проекции равны нулю. случай, разумеется, всегда имеет место, если эллипсоид инерции для неподвижной точки является сферой, т. е. если , так как в случае, когда эллипсоид инерции — сфера, любая ось, проходящая через неподвижную точку, является главной осью инерции.

Сравнивая теперь формулу (42) и формулы (46), устанавливаем соотношения

и

Если ввести в рассмотрение матрицу тензора инерции для неподвижной точки в выбранной системе связанных с телом осей, то соотношение между вектором кинетического момента и вектором угловой скорости можно записать в векторно-матричной форме:

В этом смысле матрица тензора инерции является матрицей преобразования вектора угловой скорости в вектор кинетического момента.