§ 2. Количество движения системы материальных точек

По определению количеством движения системы называется вектор

Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

и в силу соотношения (5)

Это утверждение называется теоремой об изменении количества движения (импульса) системы:

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя равенство (7) на любую неподвижную ось , получаем

где - проекция на ось вектора , а — проекция на нее вектора .

Если система замкнута, то по определению на ее точки не действуют внешние силы, , т. е.

(9)

Тем самым устанавливается закон сохранения количества движения: При движении замкнутой системы количество движения (импульс) системы не меняется.

Это утверждение справедливо, разумеется, и для системы, на которую действуют внешние силы, если .

Из равенства (8) следует, что если , то , т. е. что у любой системы проекция количества движения на некоторую ось не изменяется во время движения, если главный вектор внешних сил системы перпендикулярен этой оси.

Теореме об изменении количества движения и закону сохранения количества движения можно придать иную форму, если ввести понятие о центре инерции системы.

Центром инерции системы называется геометрическая точка

С пространства, определяемая радиусом-вектором

Величина называется массой системы.

Во время движения точек системы меняются , а значит, меняется и , т. е. при движении точек системы движется и ее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концов векторов , а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по .

Из равенства (11) следует, что

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Из теоремы об изменении количества движения следует тогда

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для материальной точки, помещенной в центре инерции и движущейся вместе с ним, если масса этой точки равна М и если к ней приложена сила . Отсюда следует, что теорему изменении количества движения можно сформулировать так:

При движении системы материальных точек ее центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на точки системы.

В такой формулировке теорему об изменении количества движения называют теоремой о движении центра инерции.

У замкнутых систем и

(14)

Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так: центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остается постоянной.

Далее иногда будет удобно вводить в рассмотрение вспомогательную систему отсчета, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчета будем называть далее центральной. В том случае, когда скорость центра инерции постоянна, центральная система является инерциальной.