§ 4. Кинетическая энергия системы

В предыдущей главе при рассмотрении системы, в которой возможны лишь временные взаимодействия, было показано, что скалярной мерой движения служит кинетическая энергия системы

Выясним теперь, как изменяется кинетическая энергия Т во время движения произвольной системы, в которой возможны не только временные взаимодействия, но и иные формы взаимодействия материальных точек. С этой целью вернемся к определению силы и умножим обе части этого равенства скалярно на :

Но по определению элементарной работы (см. § 4 гл. II)

а

поэтому

Это равенство можно записать так:

Суммируя по всем точкам системы, получаем или

или

Итак, мы доказали теорему об изменении кинетической энергии. Дифференциал кинетической энергии системы материальных точек равен элементарной работе всех сил, приложенных к ее точкам.

В формулировке этой теоремы весьма существенно, что в ней речь идет о всех силах, а не только о внешних силах, как это имело место в предыдущих теоремах этой главы. В предыдущих теоремах суммировались сами силы или их моменты и в силу третьего закона Ньютона сумма всех внутренних сил (или их моментов) оказывалась равной нулю и могла быть отброшена. Теперь же в теореме об изменении кинетической энергии суммируются скалярные произведения , и даже если силы равны, действуют вдоль одной прямой и направлены противоположно, сумма может быть (и часто бывает) отлична от нуля, так как в общем случае

Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. систему, в которой все силы потенциальны, а поле стационарно. Для такой системы (см. § 4 гл. II)

где Ф — силовая функция, и поэтому

или

т.е.

Из этого равенства сразу следует, что Ф имеет размерность энергии.

Функцию П, отличающуюся от Ф лишь знаком (она, как и Ф, имеет размерность энергии), называют потенциальной энергией системы. Поскольку

при движении консервативной системы

(22)

Сумма Е кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией системы, и равенство (22) можно записать так: .

Итак, мы установили закон сохранения механической энергии:

При движении консервативной системы материальных точек полная механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим теперь систему, которая не является консервативной, но у которой часть сил потенциальна. Для такой системы

где — элементарная работа непотенциальных сил, и

или

Следовательно, дифференциал полной энергии для систем, на которые действуют непотенциальные силы, равен элементарной работе непотенциальных сил.

Таким образом, кинетическая энергия при движении замкнутых систем не остается постоянной, а меняется за счет работы внутренних сил. Эта работа равна нулю, если все силы потенциальны и движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня . Именно такая ситуация и имеет место в случае временных взаимодействий, о которых шла речь в гл. II. В иных случаях скалярная мера Т не сохраняется неизменной даже для замкнутых систем, у которых всегда имеет место сохранение векторной меры Q. Существует, однако, другая скалярная функция от координат и скоростей точек — полная энергия системы, которая остается постоянной при движении систем некоторого класса. Таким классом оказались все консервативные системы. Класс замкнутых и класс консервативных систем не совпадают, а пересекаются, так как замкнутые системы могут быть консервативными и неконсервативными, а консервативные системы не обязательно замкнуты .

Скалярная функция, сохраняющая постоянное значение при движении консервативных систем, — полная энергия системы — не является мерой движения в том смысле, который был придан этому понятию в гл. II, так как она не аддитивна. В то время как кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий точек, потенциальная энергия в общем случае существует для системы в целом, и само понятие «потенциальная энергия отдельной точки системы» может быть лишено смысла.

Сведем теперь полученные выше основные теоремы и законы сохранения в табл. I.

Таблица I

В заключение этого параграфа сделаем следующее общее замечание о законах сохранения. Формулировка каждого из этих законов имеет следующий вид: «некоторое выражение, зависящее от координат точек и их скоростей, при движении системы не меняется». Эти выражения не зависят от ускорений точек и в этом смысле являются первыми интегралами уравнений движения. В дальнейшем (см. гл. VII) мы вернемся к понятию «первый интеграл» и дадим его точное определение. Там же будет показано, что найденные выше первые интегралы— законы сохранения— являются следствиями основного предположения классической механики об однородности и изотропности пространства и об однородности времени (см. гл. VII). Отложив поэтому уточнение этого понятия до гл. VII, мы в § 7 настоящей главы на важном примере продемонстрируем, как классическая механика использует законы сохранения для того, чтобы упростить (а в некоторых случаях и решить) дифференциальные уравнения, описывающие движение.