§ 3. Эквивалентность и эквивалентные преобразования систем скользящих векторов

Для того чтобы наиболее удобным образом ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов и построить затем систему правил, позволяющих упрощать эти множества, определять, эквивалентны ли они, и т. д., введем предварительно понятие о векторном нуле.

Векторным нулем называется множество векторов, состоящее из двух векторов, равных по величине, действующих вдоль одной и той же прямой и направленных в противоположные стороны.

Множество систем векторов называется множеством систем скользящих векторов, а каждая система векторов из этого множества — системой скользящих векторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности: две системы из множества эквивалентны, если любая из них переходит в другую путем добавления или отбрасывания векторных нулей.

Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине и действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы скользящих векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил.

Название «система скользящих векторов» принято потому, что только с помощью добавления или отбрасывания векторных нулей можно персменипь любой вектор системы вдоль линии его действия.

Чтобы показать это, рассмотрим, например, множество из трех векторов (рис. предположив, что это множество составляет систему скользящих векторов. Выберем произвольную точку О на лннин действия какого-либо из векторов системы, например первого, и приложим в этой точке векторный нуль, составленный из векторов и равных по величине вектору 1 и действующих вдоль той же прямой (рис. П.11, б).

Рис. П.11.

Векторы 1 и 1" также образуют векторный нуль — отбросим его. В результате получается система, показанная на рис. П.11, в. По определению она эквивалентна исходной, так как мы только добавляли и отбрасывали векторные нули, но теперь уже вектор 1 перемещен в точку О вдоль линии действия. Разумеется, так же можно было переместить любой иной вектор системы.

До сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, характеризуемый величиной, направлением и точкой приложения. Для системы скользящих векторов понятие точки приложения оказывается излишним. Благодаря постулируемому правилу, разрешающему добавлять и отбрасывать векторные нули, векторы систем как бы освобождаются от точек приложения, наделяются возможностью «скользить» вдоль линии действия.

Система скользящих векторов называется пучком векторов (или просто пучком), если линии действия всех векторов системы пересекаются в одной точке (рис. П.12, а). Воспользовавшись тем, что только за счет добавления или отбрасывания векторных нулей всегда можно перемещать скользящий вектор по линии действия (см. выше), переместим все векторы пучка в точку О пересечения их линий действия (рис. П.12, б).

Рис. П.12.

Теперь можно действовать с векторами, образующими пучок, как с обычными векторами, можно сложить их попарно по правилу параллелограмма и заменить одним вектором Ф — их суммой. Естественно считать, что Ф также является системой скользящих векторов, состоящей из одного вектора, и что эта система эквивалентна исходной.

Преобразования, связанные с добавлением или отбрасыванием векторных нулей и с заменой пучка векторов одним вектором, назовем элементарными преобразованиями.

Оба элементарных преобразования обратимы. Для добавления нулей это следует из определения — нули можно добавлять и отбрасывать. Для замены пучка суммой это следует из того, что для разложения вектора по заданным направлениям достаточно операции добавления и отбрасывания векторных нулей.

По определению элементарные преобразования переводят систему скользящих векторов в другую, эквивалентную ей, систему. Поэтому две системы заведомо эквивалентны, если они переводятся одна в другую последовательностью любого числа элементарных преобразований.

Эквивалентность системы скользящих векторов системе , От условимся записывать так:

или короче

Теорема 5. Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ни главного момента системы скользящих векторов.

Доказательство. Для первого элементарного преобразования — добавления пли отбрасывания векторного нуля — утверждение теоремы 5 очевидно: при образовании главного вектора два образующих нуль вектора взаимно уничтожаются. При образовании же главного момента главный момент двух векторов, образующих нуль, равен нулю.

Рис. П.13.

Действительно, если полюс О лежит на линии их действия (рис. П. 13, а), нулю равен момент каждого из этих векторов порознь; если же полюс О не лежит на линии их действия (рис. то моменты этих векторов по модулю равны, а по направлению противоположны и взаимно уничтожаются при суммировании.

Столь же тривиально утверждение теоремы 5 в отношении главного вектора при втором элементарном преобразовании — замене пучка его суммой Ф.

По определению, если векторы образуют пучок, то

причем не только линии действия всех векторов , но и линия действия вектора Ф проходят через точку О (рис. П. 14). Подсчитаем момент вектора Ф относительно произвольного полюса А. По определению

где — радиус-вектор, проведенный из Л к любой точке на линии действия Ф. Выберем в качестве такой точки О. Аналогично для любого вектора пучка

где в качестве можно взять тот же самый радиус-вектор, так как точка О лежит на линии действия любого из .

Рис. П.14.

Подставляя теперь в (6) выражение для Ф, получаем

Итак, для пучка скользящих векторов момент главного вектора равен главному моменту пучка. Это утверждение, иногда выделяют в отдельную теорему — так называемую теорему Баритона.