§ 5. Некоторые обобщения

В этом параграфе рассматриваются два обобщения, связанные с использованием лагранжева формализма. Первое обобщение получается введением понятия «обобщенный потенциал» и позволяет расширить круг задач, для которых уравнения Лагранжа имеют вид (29).

Второе обобщение связано с понятием натуральных и ненатуральных динамических систем и с возможностью при построении новых (неклассических) механик аксиоматически вводить в рассмотрение уравнения Лагранжа в форме (29) с лагранжианом L, уже не обязательно равным разности кинетической и потенциальной энергии.

1. Обобщенный потенциал.

Напомним читателю, что обобщенные силы называются потенциальными, если существует функция от обобщенных координат и времени такая, что

Было показано, что если силы имеют потенциал в декартовых координатах, то обобщенные силы , каковы бы ни были новые (обобщенные) координаты, тоже потенциальны.

При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих от скоростей.

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция от обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени t такая, что

Функция называется обобщенным потенциалом. В том случае, когда функция не зависит явно от q, так что , формула (64), очевидно, сводится к (63), обобщенный потенциал обращается в обычный, а обобщенно потенциальные силы — в обычные потенциальные.

Из равенства (64) следует, что

где — совокупность членов, не содержащих . Будем предполагать, как и ранее, что приложенные силы не зависят от ускорений материальных точек, так что и обобщенные силы не зависят от обобщенных ускорений q.

Отсюда сразу следует, что т. e. что , а это означает, что обобщенный потенциал представляет собой линейную функцию относительно обобщенных скоростей, т. е. имеет вид

где и — функции только от q и t. Подставляя это выражение в формулу (64), получаем

Если обобщенный потенциал стационарен, т. е. не зависит явно от , то все представимы в виде

где — потенциальные силы, соответствующие потенциальной энергии , а

и непосредственно видно, что и что . Для Поэтому мощность сил равна

и следовательно, — гироскопические силы.

Таким образом, если обобщенные силы являются обобщенно потенциальными и не зависят явно от t, то они складываются из обычных потенциальных и гироскопических сил; в таком случае при движении системы (но ).

Предположим теперь, что все обобщенные силы являются обобщенно потенциальными, и подставим выражения (64) в правую часть уравнений Лагранжа (22). Тогда уравнения Лагранжа примут вид

где

Функцию естественно назвать обобщенным лагранжианом.

Если в обобщенных силах можно выделить обобщенно потенциальную часть и непотенциальную часть , так что

то уравнения Лагранжа принимают вид

и аналогичны уравнениям (32).

Вспоминая структуру функции Т и учитывая формулу (65), устанавливаем структуру обобщенного лагранжиана

где — квадратичная форма относительно обобщенных скоростей q с коэффициентами линейная функция относительно — функция только от q и i, не зависящая от q. Поэтому уравнения Лагранжа (66) и (68) сводится к виду

и в силу основной теоремы лагранжева формализма разрешимы относительно старших производных.

Рассмотрим теперь два важных примера обобщенно потенциальных сил.

Пример 1. На движущийся в электромагнитном поле точечный заряд действует лоренцева сила. Проекции этой силы на оси декартовой системы координат равны

где е — заряд, с — скорость света, — скалярная функция, определяемая формулой

В этом выражении скалярная функция и вектор-функция — характеристики поля (так называемые скалярный и векторный потенциалы).

Непосредственно видно, что

и что аналогичные выражения могут быть выписаны для , т. е. что — обобщенный потенциал для лоренцевой силы. Обобщенный лагранжиан для материальной точки (массы ), несущей заряд е и движущейся в поле со скалярным потенциалом Ф и векторным потенциалом А, равен

Пример 2. Покажем теперь, что сумма переносных и кориолисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал.

Простоты ради покажем это на примере системы, состоящей из одной материальной точки), движущейся под действием заданной силы .

Сделаем предварительно следующее замечание об использовании уравнений Лагранжа для описания относительного движения в неинерциальной системе отсчета. В гл. III было установлено, что второй закон Ньютона (а значит, и основные теоремы динамики) может быть использован и в неинерциальной системе отсчета, если к точке системы () помимо действующих сил приложить силы инерции — переносную, , и кориолисову, .

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве «ноеых» координат принять относительные («греческие») координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции и т. е. преобразование (8) «новых» («греческих») координат в «старые» («латинские»).

Далее обычная схема лагранжева формализма приводит к уравнениям движения, записанным в неинерциальной системе отсчета. Разумеется, при использовании этой схемы уже не требуется заранее вводить в рассмотрение силы инерции. Наоборот, применение схемы лагранжева формализма само в конечном итоге приводит к уравнениям двйжения, записанным в неинерциальной системе отсчета и содержащим члены, соответствующие переносным и кориолисовым силам инерции.

Рассмотрим движение точки m по отношению к инерциальной (латинской) и неинерциальной (греческой) системам как абсолютное и относительное движение соответственно; переносным является движение греческой системы отсчета относительно латинской. Переносное движение задано, т. е. скорость точки А (начала координат греческой системы) и угловая скорость переносного движения заданы как функции времени: и . Если — скорость точки по отношению к латинской системе (абсолютная скорость), то кинетическая энергия равна

В качестве «новых» выберем греческие координаты . В соответствии с последовательностью действий, определяемых лагранжевым формализмом, необходимо теперь выразить через «новые» координаты и скорости . Действуя в соответствии с общей схемой, следовало бы, зная , найти функции , входящие в формулы преобразования (8), и выразить затем через и t. В данном случае, однако, можно выразить кинетическую энергию Габс через «новые» (относительные) скорости, и не выписывая явно преобразования (8). Действительно,

и поэтому

или

где - кинетическая энергия в относительном движении, а

Для того чтобы найти как функцию и вспомним, что

где являются заданными функциями времени, а p — радиус-вектор в греческой системе.

Обозначая через и орты греческой системы и раскрывая векторное произведение , получаем

Подставляя (72) в (71) и учитывая (73), получаем

Используя это, можно по формуле (70) полностью определить кинетическую энергию как функцию «новых» (относительных) координат и скоростей.

Для подсчета обобщенных сил надо в формуле для элементарной работы

выразить через «новые» координаты . Оператор не включает дифференцирования функций, определяющих преобразования координат, по явно входящему времени t. В рассматриваемом случае это означает, что в формулах преобразования следует положить , т. е. при подсчете элементарной работы неинерциальную систему следует считать остановленной. Но тогда

т. е. обобщенные силы соответственно равны . Если ввести обозначения

то уравнения Лагранжа можно записать так:

причем обобщенный лагранжиан равен

а обобщенный потенциал определяется формулой (74). Уравнения (75) можно переписать в следующем виде:

Левые части этих уравнений совпадают с левыми частями уравнений Лагранжа, которые составил бы наблюдатель, находящийся в неинерциальной (греческой) системе, а обобщенные силы

также совпадают с обобщенными силами, которые вычислил бы этот наблюдатель. Подставляя в выражение, стоящее в правой части уравнений (77) в квадратных скобках, функцию из (74) и вычисляя соответствующие частную и полную производные, легко убедиться в том, что величины в квадратных скобках при и в точности равны проекциям на оси и суммы переносной и кориолисовой сил инерции.

Таким образом, уравнения (75) в конечном итоге приводят нас вновь к уравнениям Ньютона для неинерциальной системы отсчета:

Рассмотренный пример поучителен в том отношении, что он разъясняет два пути, которыми мог бы воспользоваться «неинерциальный наблюдатель» для того, чтобы составить уравнения Лагранжа, описывающие наблюдаемое им относительное движение.

Первый путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. Именно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (в абсолютном движении!), выразить ее через «свои» относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости «своей» системы как заданные функции времени!) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи.

На этом пути не требуется вводить какие-либо силы инерции — наоборот, лагранжев формализм сам вводит их и устанавливает их обобщенно потенциальный характер.

Второй путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы с самого начала добавить к исходным (приложенным) силам переносные и кориолисокы силы инерции. Относительные скорости, входящие в выражения для кориолисовых сил, рассматривались бы при этом как неизвестные функции. Далее такой наблюдатель мог бы рассуждать так: «Теперь, после добавления сил инерции, в моей системе отсчета верен второй закон Ньютона; значит, в этой системе верны и уравнения Лагранжа, если в них входит кинетическая энергия видимого мной (т. е. относительного!) движения и если обобщенные силы подсчитываются, исходя из виртуальных перемещений в относительном движении». Поэтому такой наблюдатель мог бы сразу выписать уравнение Лагранжа в «своей» системе отсчета, подсчитывая кинетическую энергию через «свои», т. е. относительные скорости. Но при подсчете обобщенных сил ему пришлось бы принять во внимание и работу сил инерции на виртуальных перемещениях в относительном движении.

Разумеется, оба пути в конечном итоге приводят к одинаковым результатам. Выбор более удобного пути в каждом конкретном случае зависит от особенностей решаемой задачи.

2. Натуральные и ненатуральные системы.

Введя понятие об обобщенном потенциале, мы сделали важный шаг в расширении класса систем, для которых ковариантные уравнения движения могут быть записаны в форме, содержащей только одну функцию, зависящую от выбора системы отсчета, — ее лагранжиан.

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при Еыводе основных законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где .

Естественно поставить вопрос: почему нельзя было с самого начала постулировать уравнения (22) либо (29), если они являются лишь ковариантной записью второго закона Ньютона? Действительно, такой постулат мог бы быть положен в основу механики (голономных систем). Именно, в наше время построение новых систем механики, в частности, релятивистской механики, делает актуальным вопрос о том, в каких терминах удобнее формулировать исходные аксиомы.

Теперь уже обе формы уравнений движения — уравнения, выражающие второй закон Ньютона, и уравнения Лагранжа — в равной мере обычны для физики. Поэтому возникает мысль о возможности при построении новых систем механики постулировать взамен «нового второго закона Ньютона» утверждение о том, что движение описывается уравнениями Лагранжа. При таком подходе к построению механики лагранжиан просто постулируется как некоторая функция .

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию и t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме

Действительно, если мы будем считать L некоторой произвольной функцией от обобщенных координат q, обобщенных скоростей q и, быть может, времени t и подставим эту функцию в уравнения Лагранжа (29), а потом проделаем выкладки, аналогичные тем, которые были проделаны в § 3, то вместо уравнений (44) мы получим уравнения

В этих уравнениях роль, которую играли ранее коэффициенты , играют теперь вторые производные .

В связи с этим требование (78) является аналогом основной теоремы и гарантирует, что при априорном задании лагранжиана в форме, отличной от разности , будет сохранена возможность однозначного определения движения по начальным данным.

Условимся далее в этой книге системы, для которых L подсчитывается как , называть натуральными системами, а системы, для которых L вводится аксиоматически как-либо иначе, — ненатуральными системами. В гл. VII, посвященной исследованию движения в потенциальных полях, все изложение будет построено так, чтобы оно было верно как для натуральных, так и для ненатуральных систем, но, разумеется, мы будем при этом опираться на предположение о том, что удовлетворяется требование (78) и поэтому начальные данные полностью определяют движение.