§ 3. Исследование уравнений Лагранжа

С точки зрения классической механики движение системы материальных точек вполне детерминировано. Это значит, что если известно, как изменяются и от чего зависят действующие в системе силы или каковы потенциальные поля, в которых происходит движение, то информация о состоянии системы в некоторый момент вполне определяет все движение в будущем. Этот детерминистский подход четко прослеживается в том случае, когда уравнения движения для системы материальных точек записываются в форме Ньютона (2).

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат и скоростей , число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение.

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (либо в форме ). После подстановки в левые части этих уравнений выражений для кинетической энергии Т (или лагранжиана L) и соответствующих дифференцирований получаются уравнения, уже не обязательно разрешенные относительно старших производных. Может случиться, что некоторые (или все) из этих уравнений содержат не одну, а несколько (или все) старших производных от обобщенных координат .

Естественно возникает вопрос: всегда ли можно разрешить уравнения Лагранжа относительно старших производных от обобщенных координат , т. е. представить эти уравнения в форме Коши и, следовательно, применить к ним теорему о существовании и единственности решений по начальным данным?

Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, о которых выше шла речь.

Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе.

Начнем с изучения структуры функции Т. При исследовании движения в декартовых координатах кинетическая энергия системы материальных точек

является суммой квадратов скоростей с постоянными коэффициентами . Рассмотрим, как изменится выражение Т при переходе к «новым» координатам .

Коль скоро выбраны координаты q, все декартовы координаты точек выражаются через эти координаты и, быть может, время. Поэтому радиус-вектор любой точки системы также является функцией координат q и времени,

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

что дает

Из формулы (35) непосредственно видно, что в выражение для кинетической энергии входят члены, не содержащие q (они получаются от возведения в квадрат частной производной от по явно входящему времени), члены, содержащие первые степени q (они получаются при подсчете удвоенных произведений указанной выше производной по явно входящему времени на остальные члены, стоящие в формуле (35) под знаком суммы по , и, наконец, члены, квадратичные относительно (они получаются при возведении в квадрат членов, стоящих в формуле (35) под знаком суммы по ).

Таким образом, выражение для кинетической энергии после перехода к «новым» координатам может быть представлено в виде

где

причем в формуле (39)

В силу формул (40) коэффициенты , вообще говоря, являются функциями как координат , так и времени , потому что от этих переменных зависят а значит, и частные производные, фигурирующие в выражении (40).

Обратим теперь внимание на то, что как в выражении (37), так и в выражении (38) каждый член содержит множитель , равный нулю, когда преобразование (9) стационарно, т. е., когда все не зависят явно от t. Поэтому в стационарном случае из формул (37) и (38) следует, что равны нулю, а из формулы (40) следует, что коэффициенты в этом случае не зависят от t и являются функциями только координат .

Таким образом, в стационарном случае, т. е. в случае, когда время не входит явно в формулы (9), кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно с коэффициентами, зависящими только от координат

Рассмотрим теперь структуру лагранжиана L. По определению . В общем случае

в случае, когда преобразования (9) стационарны,

если же, кроме того, система является консервативной, то

Мы докажем теперь теорему, которая по праву может быть названа основной теоремой лагранжева формализма, так как она полностью решает вопрос, поставленный в начале параграфа, — в какой мере лагранжев формализм обеспечивает определение движения по информации о состоянии системы в некоторый момент.

Эта теорема будет играть существенную роль в дальнейшем изложении.

Теорема 1. Определитель, составленный из коэффициентов , отличен от нуля при любых q и :

Доказательство. Напомним, что по определению «новые» координаты независимы. Все функций

определены в любой момент t, коль скоро заданы q. При все эти функции независимы. Если же , то по предположению (см. стр. 125) среди этих функций содержится независимых функций. Условие того, что среди этих функций содержится независимых, состоит в том, что ранг матрицы Якоби

равен . Следовательно, равен и ранг матрицы

которая отличается от матрицы (42) тем, что все элементы первых трех строк умножены на следующих трех строк на и т. д. Введем вектор-столбец компоненты которого совпадают с элементами столбца матрицы (43). Из того факта, что ранг матрицы (43) равен , сразу следует, что векторы линейно независимы.

Условие линейной независимости векторов состоит в том, что составленный из них определитель Грама отличен от нуля, т. е.

Но

т. е. в соответствии с равенством (40)

Поэтому

Теорема доказана.

Вернемся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (все дальнейшее верно также и для уравнений Лагранжа, записанных для движений в потенциальных полях в форме (29)).

Вспоминая, что в любом случае кинетическая энергия может быть представлена в виде (36), т. е. в виде суммы форм нулевой, первой и второй степени от представляем левую часть уравнений Лагранжа (22) в виде суммы трех выражений, которые получаются при подстановке в эту левую часть сначала , затем и, наконец, .

Подставляя в левую часть уравнений (22) вместо Т квадратичную форму получаем

Условимся обозначать символом совокупность членов, не содержащих вторых производных от координат . Заметим, далее, что производные от коэффициентов как по t, так и по q не содержат вторых производных от обобщенных координат. Если силы, действующие на точки системы, зависят лишь от времени, координат точек и их скоростей (см. гл. II), то обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (22), могут зависеть лишь от времени, координат q и их первых производных. Поэтому результат подстановки в уравнения (22) вместо Т квадратичной формы можно представить следующим образом:

Вернемся теперь к уравнениям (22) и подставим в них вместо Т линейную форму . Легко видеть, что выполнение всех операций, указанных в левой части уравнений (22), не может привести к появлению членов, содержащих вторые производные от координат q. Поэтому результатом этой подстановки будет . Это тем более будет выполняться при подстановке в уравнения (22) вместо Т члена , не содержащого производных q. Отсюда следует, что в любом случае уравнения Лагранжа (22) сводятся к виду (44).

Теперь мы воспользуемся доказанной выше теоремой. Из нее сразу следует, что уравнения (44) можно разрешить относительно вторых производных , т. е. представить в виде

а это как раз и значит, что уравнения Лагранжа сводятся к форме Коши и что для них задание начальных данных (в количестве, соответствующем порядку системы) полностью определяет решение при обычных и не стеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части уравнений. В этом смысле уравнения Лагранжа. удовлетворяют условиям детерминизма движения, о котором шла речь в начала этого параграфа.

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно . Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме ) равен . Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать начальных данных. Этими начальными данными являются значения координат и скоростей в начальный момент .

Определим теперь, как изменяется полная энергия системы , если движение системы описывается уравнениями Лагранжа.

В общем случае кинетическая энергия является функцией q и , а если преобразование (9) нестационарно, то также и :

Подсчитаем производную

или

Рассмотрим теперь порознь суммы, входящие в правую часть этого выражения. В первой сумме

выражение в скобках совпадает с левой частью уравнений Лагранжа. Рассматривая значения производной на траекториях движения, эту сумму в силу (31) можно заменить суммой , где — непотенциальная часть обобщенных сил. Таким образом,

где сумма называется мощностью непотенциальных сил.

Вторую сумму из правой части выражения (46) можно переписать так:

Используя теперь формулу Эйлера для однородных функций

где —произвольная однородная функция степени, и вспоминая, что — квадратичная, а — линейная форма от , получаем

Подставляя (47) и (48) в (46), получаем

или

В частном случае, когда преобразование (9) стационарно,

и

Если предположить далее, что потенциальное поле стационарно, то и

Система, у которой все силы потенциальны, а потенциальное поле стационарно, была названа выше консервативной. На точки консервативной системы непотенциальные силы не действуют, и поэтому

Таким образом, мы установили, что закон сохранения механической энергии для консервативных систем имеет место в любых координатах , если преобразование (9) стационарно.

Покажем теперь, что во время движения и для некоторых неконсервативных систем. Действительно, равенство

может иметь место, несмотря на то, что все (или некоторые) отличны от нуля. В таких случаях вновь , хотя и существуют иепотенциальные силы. Системы такого рода называют гироскопическими, а непотенциальные обобщенные силы , для которых выполняется условие (50), — гироскопическими силами.

Если непотенциальные части обобщенных сил таковы, что во время движения выполняется неравенство

то в процессе движения и полная энергия Е не увеличивается, а может лишь рассеиваться на отдельных этапах движения. Если неравенство (51) выполняется строго (конечно, тогда хотя бы одна из производных отлична от нуля), то движение все время сопровождается рассеиванием энергии. Системы такого рода называются диссипативными (соответственно — строго диссипативными), а силы, удовлетворяющие неравенству диссипативными силами.