§ 7. Действие внешней силы, зависящей явно от времени, на произвольную стационарную систему при ее движении вблизи положения устойчивого равновесия (в линейном приближении)

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобщенных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени.

Чтобы рассмотреть действие такой обобщенной силы, будем считать, что та часть обобщенных сил, которая зависит от q и , уже учтена при составлении уравнений линейного приближения. В отличие от формул (14) мы представим теперь эти уравнения при отсутствии силы, явно зависящей от времени, в виде

т. е. опустим знак *, указывающий, что соответствующие коэффициенты получены при разложении в ряд функции , так как это обстоятельство не будет играть далее существенной роли.

Учитывая дополнительную обобщенную силу, зависящую явно от времени, представим уравнения линейного приближения стационарной системы в виде

где — зависящие явно от времени части обобщенных сил. Предполагается, что в процесса движения они остаются малыми по модулю и не выводят систему из малой окрестности положения равновесия — к этому вопросу мы еще вернемся ниже.

В связи с тем, что система уразнгний (55) является линейной, а для линейных систем имеет место принцип суперпозиции, можно рассмотреть движение системы под действием какой-либо одной силы из предположив, что все остальные равны нулю. Определив порознь движения, возникающие под действием каждой из таких обобщенных сил, их следует затем сложить.

Учитывая это обстоятельство, положим

т. е. будем считать, что отлична от нуля только обобщенная сила , относящаяся к первой обобщенной координате, а все остальные обобщенные силы такого рода равны нулю.

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (55) складывается из двух слагаемых: первым является общее решение соответствующей однородной системы, получающейся из (55) при (обозначим его через ), а вторым — частное решение соответствующей неоднородной системы (обозначим это частное решение через ). Тогда

Что касается общего решения однородной системы , то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение стремится в пределе к движению , которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы .

Движения , которые бы возникали при отсутствии такой вынуждающей силы, называются свободными.

Если этими движениями являются колебания, то их называют свободными колебаниями. Движение , которое возникает благодаря наличию вынуждающей силы, зависящей явно от времени, и к которому в пределе стремится суммарное движение, называют вынужденным движением (в случае колебаний говорят о вынужденных колебаниях).

В этом разделе мы будем изучать только вынужденные движения, помня о том, что общее движение складывается из вынужденных и из свободных движений.

1. Гармоническая вынуждающая сила.

Частотная характеристика. Предположим, что обобщенная сила является гармонической функцией от ,

Здесь A — амплитуда, а — частота внешней вынуждающей силы .

Нам удобно далее вместо истинной обобщенной силы рассматривать комплексную функцию

(59)

Интересующая нас действительная функция (58) получается как мнимая часть этого комплексного выражения:

Рассмотрим уравнения (55), в которых определяется выражением (59), а . Нас интересует частное решение такой системы дифференциальных уравнений. Зная это решение и учитывая формулу (60), можно выделить в полученном решении мнимую часть и найти истинные вынужденные колебания.

Частное решение уравнений (55) с правой частью (59) будем искать в виде

Подставив эти выражения в наши уравнения и сократив на экспоненциальный множитель, отличный от нуля при любом t, получим

(здесь обычный символ Кронекера: при при ).

Если ввести обозначения

то уравнения (62) представятся в виде

Уравнения (62) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентами этих уравнений являются комплексные величины, определяемые по формулам (63).

Решая систему (64) линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами по правилу Крамера, получаем

где в знаменателе стоит определитель матрицы из коэффициентов системы алгебраических уравнений (64)

Легко видеть, что если в этом определителе заменить на комплексное переменное , то он совпадает с характеристическим полиномом (24). Но у асимптотически устойчивой системы все нули характеристического полинома расположены слева от мнимой оси. Поэтому в таком случае определитель (66) отличен от нуля при любом .

В числителе в формуле (65) стоит определитель — алгебраическое дополнение расположенного в первой строке и столбце элемента определителя .

Как определитель , стоящий в знаменателе выражений (65) и не зависящий от индекса k, так и определители , стоящие в числителе этих выражений, представляют собой полиномы от Q с комплексными коэффициентами. Поэтому отношение определителей в выражении (65) является дробнорациональной функцией. Вид этой функции зависит от k. Заметим здесь же, что степень числителя в любом случае не превосходит степени знаменателя. Более того, легко видеть, что в невырожденных случаях степень числителя заведомо меньше степени знаменателя.

Обозначим эту дробно-рациональную функцию через :

Тогда искомое частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (55) при учете обобщенной силы (59) можно представить в виде

Вспомним теперь, что мы заменили интересующую нас обобщенную силу (58) комплексным выражением (59) и что является мнимой частью выражения (59).

Выделив в полученном частном решении (68) мнимую часть, находим искомое частное решение системы (55) при условии (58), а именно

Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движения, возникшие благодаря действию вынуждающей силы (58), с выражением для этой силы, устанавливаем, что в этом случае вынужденные движения представляют собой гармонические колебания той же частоты, но с иными амплитудами и со сдвигом фаз. Амплитуды и фазы вынужденных колебаний полностью определяются введенной выше комплексной функцией , и для данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы Я.

Введенная выше функция , играющая столь важную роль при определении вынужденных колебаний, называется частотной характеристикой системы, или, как говорят иногда, ее амплитудно-фазовой характеристикой. Индексы при показывают, что эта дробнорациональная функция мнимого переменного зависит, с одной стороны, от того, к какой координате относится внешняя гармоническая сила, — это обстоятельство подчеркивается первым индексом (в рассматриваемом нами случае, когда сила действует на первую координату, этот индекс равен 1), и, с другой стороны, от того, вынужденные колебания какой координаты обстоятельство подчеркивается вторым индексом k. В зависимости от того, на какую координату действует внешняя сила и какая координата наблюдается, получаются разные частотные характеристики. Из формулы (67) следует, что при изменении места приложения внешней силы и номера координаты, за которой ведется наблюдение, изменяется лишь числитель дробнорациональной функции W, знаменатель же во всех случаях одинаков.

Рис. VI.12.

Рассмотрим теперь несколько подробнее только что введенную важную характеристику системы — ее частотную характеристику. В комплексной плоскости можно построить гбдограф функции W (рис. VI. 12). Для этого надо, подставляя в выражение (67) значения Q, меняющиеся от 0 до подсчитывать порознь действительные и мнимые части этого выражения и по точкам строить годограф.

Начинаясь на действительной оси (так как W при равно отношению свободных членов полиномов ), этот годограф стягивается к нулю (как уже было указано выше, в выражении (67) степень знаменателя в невырожденных случаях выше степени числителя). Если теперь отдельно рассмотреть изменения модуля и аргумента вектора в зависимости от то получатся характеристики, которые называются соответственно амплитудной и фазовой характеристиками системы (рис. V1.13 и VI. 14).

Рис. VI.13.

Рис. VI.14.

Зная частотную характеристику системы, можно определить амплитуду и сдвиг фазы вынужденного колебания координаты при любой частоте внешней силы, скажем .

Рис. VI.15.

Для того чтобы сделать это, надо по рис. (либо по рис. VI.13 и VI.14 соответственно) найти при модуль и аргумент функции , затем умножить амплитуду вынуждающей силы на и сдвинуть фазу гармонической функции, выражающей силу, на .

Если амплитудная характеристика системы (рис. VI.13) при некотором значении имеет отчетливо выраженный пик, т. е. если при значительно больше, чем , при остальных значениях Q, то при одной и той же амплитуде внешней силы амплитуда отклика резко возрастает, когда частота внешней силы приближается к значению .

Это явление называется резонансом, а частота — резонансной частотой системы. Разумеется, амплитудная характеристика системы может иметь несколько пиков при различных значениях (рис. VI. 15). В этом случае говорят, что система резонирует на нескольких частотах. В рассматриваемом здесь общем случае стационарной системы понятие «резонанс» является не точным, а скорее интуитивным, так как оно связано с недостаточно четким понятием «отчетливо выраженный пик». Это понятие приобретает точный смысл лишь в случае, когда система консервативна (см. ниже).

В силу того что амплитудная характеристика, как уже было указано выше, стягивается к нулю с ростом Q, можно указать такое значение «частоты среза» , что при всех и при заданном А решение по модулю будет меньше некоторого наперед заданного числа (см. рис. VI.13 и VI.16, а). Задавшись этим числом и определив таким образом значение , говорят, что рассматриваемая система в малых колебаниях «пропускает» лишь частоты от нуля до , а частоты, большие , «не пропускает». В этом смысле механические системы являются фильтром высоких частот. Наоборот, можно таким образом подобрать коэффициенты а, b и с рассматриваемой системы уравнений, чтобы амплитудная характеристика системы имела вид, представленный на рис. VI.16, б, т. е. чтобы модуль амплитудной характеристики был больше наперед выбранного числа лишь тогда, когда Q лежит между двумя числами и , и был бы меньше числа вне этого диапазона. В таких случаях говорят, что система является полосовым фильтром, пропускающим полосу частот, заключенную между и .

Рассмотрим теперь консервативную систему. Пусть , — ее собственные частоты (см. § 6 этой главы). Собственными колебаниями системы служат гармонические колебания с этими частотами, а это означает, что все корни характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые и что они равны

Рис. VI.16.

Тогда из теоремы Безу сразу следует, что левая часть характеристического уравнения системы имеет вид

(об этом уже шла речь выше), т. е. содержит лишь четные степени X. Ясно, что и алгебраическое дополнение любого элемента определителя обладает этим же свойством. Поэтому в случае консервативной системы частотные характеристики, определяемые формулами (67), являются не комплексными, а действительными функциями, и принимает бесконечные значения при

Поэтому амплитудная характеристика консервативной системы имеет вид, показанный на рис. VI.17, т. е. консервативная система резонирует на всех своих собственных частотах и только на них. Здесь понятие резонансной частоты имеет точный смысл: у консервативной системы резонансной частотой называется значение Q, при котором амплитудная характеристика системы имеет разрыв второго рода.

Рис. VI.17.

Из изложенного следует, что в случае, когда частота внешней силы приближается к любой из собственных частот консервативной системы, амплитуды вынужденных колебаний всех ее обобщенных координат неограниченно возрастают.

Рассмотрим теперь фазовую характеристику консервативной системы. В связи с тем, что для консервативной системы — действительная функция, аргумент ее может быть равен лишь нулю или кратен в зависимости от знака этой функции. Поэтому фазовой характеристикой консервативной системы служит кусочно-постоянная функция, равная 0 или кратная .

Она имеет разрыв первого рода при всех значениях , равных собственным частотам системы

В случае консервативной системы с одной степенью свободы, возмущаемой гармонической обобщенной силой, уравнение движения имеет вид

Свободные колебания системы

происходят с собственной частотой

а вынужденные колебания описываются функцией

В этом простейшем случае

амплитудная характеристика имеет вид

а фазовая характеристика такова:

Эти три характеристики показаны на рис. VI.18.

Читателю рекомендуется самому найти явное выражение для вынужденных колебаний консервативной системы с n степенями свободы, придерживаясь следующего плана.

1° Найти матрицу преобразования обобщенных сил (для системы координат ) в обобщенные силы (для главных координат ). Для этого надо приравнять выражения элементарной работы через обобщенные силы Q и , представить в этом равенстве q как функции при помощи преобразования (45) и изменить порядок суммирования. Читатель установит тогда, что искомая матрица преобразования Q в получается транспонированием амплитудной матрицы .

2° После того как обобщенные силы для главных координат найдены, вынужденные колебания каждой из этих координат определяются по формуле (70).

Рис. VI.18.

3° Вынужденные колебания координат находятся по формуле (45).

2. Периодическая, но не гармоническая вынуждающая сила.

Рассмотрим теперь случай, когда на первую обобщенную координату действует не гармоническая, а периодическая обобщенная сила с периодом Т, заданная функцией , удовлетворяющей условию

например функцией, график которой изображен на .

Мы будем что периодическая функция представима рядом Фурье

где амплитуды гармоник и соответствующие сдвиги фаз определяются по обычным правилам разложения периодической функции в ряд Фурье, — круговая частота. Теперь внешняя сила, действующая на первую координату, представлена как сумма гармонических колебаний.

Рис. VI.19.

В силу линейности системы и действующего поэтому принципа суперпозиции каждая из этих гармонических сил вызывает независимое вынужденное колебание, а общее вынужденное колебание, возникающее под действием такой периодической силы, получается суммированием этих независимых колебаний. Для определения каждого из вынужденных колебаний, которое возникает в том случае, когда внешняя сила представляется не всем рядом (72), а лишь какой-либо одной гармоникой, например , можно воспользоваться полученной выше формулой (69) — надо лишь заменить всюду на . Поэтому вынужденное колебание координаты , которое возникает под действием периодической силы, действующей на первую координату и выражающуюся рядом (72), может быть представлено в виде

Из этой формулы видно, что вынужденные колебания, возникающие в системе под действием внешней силы (72), полностью определяются частотной характеристикой системы так же, как и в случае, когда рассматривалась гармоническая сила. Но теперь на частотной характеристике надо рассматривать не только точку, соответствующую частоте , но и все точки, соответствующие частотам . Отмечая эти точки на частотной характеристике (рис. VI.20) и вспоминая о наличии полосы пропускания, благодаря чему практически оказывается необходимым рассмотреть лишь конечное (и обычно небольшое) число таких точек, мы можем для каждой из этих точек определить модуль частотной характеристики и ее аргумент и, подставив их в формулу (73), найти вынужденное колебание. Этот ряд можно изобразить графически, откладывая в точках оси значения амплитуд гармоник и соответствующих сдвигов фаз (рис. VI.21). Такой график называется линейчатым спектром воздействия. Аналогично возникающее в результате вынужденное движение также представимо рядом Фурье и изображается своим линейчатым спектром. Частотная характеристика в этом случае играет роль оператора, преобразующего линейчатый спектр возмущающей силы в линейчатый спектр вынужденного движения.

Рис. VI.20.

Сделаем теперь замечание, общее как для случая, когда рассматривалась гармоническая сила, так и для исследуемого здесь случая периодического негармонического возмущения.

Если рассматривается действие внешней силы на систему, находящуюся в положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины , являющиеся коэффициентами Фурье в разложении внешней периодической силы в ряд; в указанном случае ограничен, а A и все стремятся к нулю, если внешнее периодическое воздействие по модулю стремится к нулю.

Рис. VI.21.

В силу этого вынужденное движение остается в сколь угодно малой окрестности исследуемого положения асимптотически устойчивого равновесия, если внешнее воздействие по модулю достаточно мало. Именно это обстоятельство дает возможность изучать действие внешней силы на систему в линейном приближении — если амплитуда внешнего воздействия достаточно мала, то результирующее движение не выходит за пределы малой окрестности положения равновесия, в котором движение с достаточной точностью может быть описано линейными дифференциальными уравнениями.

3. Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье.

Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента , на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все при и что движение возникает лишь благодаря тому, что при .

Таким образом, теперь мы уже не разделяем свободные и вынужденные движения и изучаем полные движения, возникающие благодаря действию возмущающей силы, но начальные условия считаем нулевыми.

Как и ранее, опираясь на принцип суперпозиции, без уменьшения общности будем считать, что вынуждающая сила, зависящая явно от времени, действует только на первую координату. Тогда нам предстоит рассмотреть действие силы, удовлетворяющей условию

Выше, когда речь шла о периодической силе, мы представляли ее рядом Фурье. Теперь, когда периодичность не предполагается, мы будем считать, однако, что сила удовлетворяет условиям, при которых она представима интегралом Фурье

где ядро интеграла, как обычно, выражается в виде

Соответствие между функцией действительного переменного и функцией мнимого переменного , установленное формулой (76), записывается так:

Функция носит название фурье-преобразования функции или ее комплексного спектра.

Нам понадобятся далее следующие простые соотношения из теории преобразований Фурье.

Пусть

есть фурье-преобразование функции . Тогда фурье-преобразования первой, второй и старших производных от функции строятся по следующим правилам:

где

В нашей задаче далее мы будем интересоваться лишь функциями, начальные значения которых равны нулю. Опуская поэтому в формуле (78) начальные значения, получаем еще более простые формулы для вычисления фурье-преобразований производных по известному фурье-преобразованию самой функции:

Вернемся теперь к дифференциальным трехчленам, которые содержатся в интересующих нас уравнениях линейного приближения (55). Фурье-преобразование такого трехчлена находится его умножением на и последующим интегрированием по от до :

(80)

Таким образом, фурье-преобразование интересующего нас трехчлена получается из фурье-преобразований координаты просто умножением на те самые множители , которые фигурировали выше при построении частотных характеристик. Поэтому в результате преобразования Фурье система дифференциальных уравнений (55) в случае переходит в систему линейных алгебраических уравнений относительно фурье-преобразований

Сравнивая формулы (81) с формулами (64), которые служили для определения амплитуд вынужденных колебаний по амплитуде действующей гармонической силы, мы видим, что они совпадают. Однако входящие в них переменные имеют разный смысл: в уравнениях (64) этими переменными являются искомые амплитуды, а в уравнениях (81) — фурье-преобразования интересующих нас движений и внешней силы.

Разрешая уравнения (81) относительно фурье-преобразования какой-либо координаты, получаем

где имеют тот же смысл, что и в (65). Используя введенное ранее обозначение (65), получаем

Таким образом, частотная характеристика, введенная ранее, выступает теперь в новой роли: фурье-преобразование функции в случае представимой интегралом Фурье силы получается умножением фурье-преобразования этой силы на соответствующую частотную характеристику системы . В случае гармонического воздействия частотная характеристика связывает комплексные амплитуды воздействия и возникающего вынужденного движения, а в случае непериодического ноздействия эта же частотная характеристика таким же образом связывает комплексные спектры воздействия и возникающего в результате движения.

Задача состоит теперь в том, чтобы по вычисленному таким образом спектру изучаемого движения найти само движение.

Определение преобразуемой функции по фурье-преобразованию называется обратным преобразованием Фурье, и наша цель — найти его.

С этой целью выделим действительную и мнимую части комплексного спектра (см. формулу (83)), т. е. представим его в виде

Возвращаясь теперь к формуле (75), определяющей обратное преобразование Фурье, подставляя под знак интеграла (75) выражение комплексного спектра координаты и выражая экспоненциальную функцию через тригонометрические, получаем

Левая часть — заведомо действительная функция, правая же часть содержит и мнимые члены. Очевидно, что вся совокупность членов в правой части выражения (85), содержащих множитель i, равна нулю.

Учитывая это и отбрасывая мнимые члены в правой части (85), получаем

Вспомним теперь, что по постановке рассматриваемой задачи все тождественно равны нулю при . Поэтому если заменить в правой части формулы (86) t на —t, то левая часть должна обратиться тождественно в нуль:

Сложив левые и правые части формул (86) и (87), получим более простое выражение

Пусть действительная часть комплексного спектра координаты — четная функция. В таком случае вместо (88) можно написать еще более простой интеграл

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу можно вычислить комплексный спектр ее и координаты и затем выделить часть спектра . Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых.

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом Фурье. Центральным для решения этой задачи являются понятия комплексного спектра и частотной характеристики, которая в свою очередь является далеко идущим обобщением понятия «резонансная кривая», введенного в механику еще при исследовании консервативных систем.

Заметим, что и в случае непериодического воздействия умножение возмущающей силы на постоянный множитель приводит к тому, что этот же множитель оказывается в правой части выражения (88) либо (89) для возникающих отклонений. Отсюда следует, что и в этом случае, если внешнее возмущение достаточно мало по модулю, то и отклонения обобщенных координат будут малы, а это значит, что движение не выйдет за пределы окрестности, где допустима линеаризация уравнений.

Подведем теперь итоги этого параграфа. Введя выше понятие об устойчивости, мы установили сам факт, что движение, начавшееся благодаря малым отклонениям от устойчивого положения равновесия, не выходит за пределы малой его окрестности или даже асимптотически стремится к положению равновесия. Мы видим теперь, что малые по модулю внешние возмущения (все равно гармонические, периодические или непериодические, но представимые интегралом Фурье) в асимптотически устойчивых случаях приводят к движениям, также не покидающим малую окрестность. Именно поэтому линеаризация задачи, т. е. замена исходных уравнений Лагранжа их простым линейным приближением, играет столь существенную роль при изучении движений, возникающих в окрестности положений равновесия.

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствующих разложений нелинейных функций в рялы. В этом смысле понятия «малые отклонения» и «малые колебания» условны. Слово «малое» в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности.

В настоящее время не существует общих приемов, позволяющих в любом случае установить область, в которой можно с достаточной точностью пользоваться линейной аппроксимацией. Область эта в каждом конкретном случае определяется экспериментальной проверкой и опытом решения аналогичных задач.