§ 5. Основные задачи и методы классической механики

Основная задача, которую решает классическая механика, может быть сформулирована так: в начальный момент известны положения и скорости всех точек, образующих некоторую систему; заданы силы, действующие на все материальные точки этой системы; требуется определить движение точек системы для всех .

Говоря, что «силы заданы», иногда имеют в виду, что они заданы как функции времени, т. е. что заранее известно, как меняются во времени производные для всех точек;

чаще, однако, при этом имеют в виду, что для каждой точки зависит также от положения всех материальных точек в рассматриваемой системе отсчета или от их скорости относительно нее; тогда слова «силы заданы» означают, что силы заранее известны как функции не только времени, но и координат и скоростей точек системы.

Как уже указывалось в предыдущих параграфах, сила — результат сложных физических процессов, обусловливающих взаимодействие материальных объектов. Механика не изучает физическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции положений и скоростей материальных точек или тел в каждой конкретной механической задаче считаются известными — их определяют в иных дисциплинах.

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики — типичным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за рамки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, и выделим в ней точку. Все силы, действующие на эту точку в результате внутренних и внешних взаимодействий, можно заменить одной силой — их равнодействующей (см. § 4); в силу сказанного выше известна как функция t, координат всех точек системы и их скоростей:

Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в некоторой инерциальной системе отсчета имеют место N равенств

где — радиус-вектор, пров ценный из начала координат к точке.

Проектируя эти равенства на оси координат, получаем

где — проекции указанных выше равнодействующих на оси х, у, z соответственно. Уравнения (28) образуют систему дифференциальных уравнений порядка , так как каждая точка вносит в эту систему три уравнения второго порядка. Эти дифференциальные уравнения называют иногда основными уравнениями динамики системы материальных точек.

Если известны положения и скорости всех точек системы в начальный момент

то решение основной задачи механики сводится к интегрированию основных уравнений динамики (28) при заданной системе начальных данных (29).

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29).

Поэтому все дальнейшее построение механики, ее цели и методы связаны с обходом или преодолением затруднений, обусловленных тем, что основные дифференциальные уравнения динамики систем не могут быть проинтегрированы в общем виде. Методы, которые используются в механике, чтобы преодолеть указанные трудности, могут быть кратко описаны так.

1° Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, таковы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены. Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее.

2° В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое.

3° В тех случаях, когда интегралы уравнений (28) не могут быть найдены даже при предельном упрощении этих уравнений методами механики, изучаются общие свойства решений этих уравнений без их непосредственного нахождения. Так, например, для случая, когда движение происходит в потенциальных полях, механика определяет многие общие свойства движений без того, чтобы доводить до конца задачу об определении самих движений.

4° Наконец, - и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения — кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать три равенства типа «заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной». Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, которые не изменяются во время движения системы, эти функции называются первыми интегралами дифференциальных уравнений движения.

В механике указываются приемы нахождения таких первых интегралов, которые не только позволяют упростить уравнения движения, но и зачастую дают возможность довести решение задачи до конца. В качестве примера можно указать рассматриваемую ниже задачу о движении материальной точки в поле центральной силы.

Эти четыре основных приема используются механикой для вывода ее обших законов и для изучения некоторых часто встречающихся типов движения или важных классов динамических систем. Предполагается, что не только выполнены все исходные постулаты, о которых шла речь в § 2 этой главы, но что выполняются следующие дополнительные условия.

1° Рассмотрение ведется в инерциальной системе отсчета.

2° Рассматривается движение постоянной по составу системы материальных объектов, т. е. считается, что на протяжении всего движения система состоит из одних и тех же материальных объектов.

3° В пространстве «нет преград», т. е. ничто не препятствует ни одному из рассматриваемых материальных объектов (точек или тел) находиться в любом месте в любой момент времени.

Эти три условия выполняются далеко не всегда, и механика изучает методы, с помощью которых законы, полученные для систем, удовлетворяющих этим условиям, могут быть использованы и в тех случаях, когда какое-либо из этих условий не выполняется. Как мы уже видели выше, предположение о том, что время не зависит от пространства и материи и что пространство является евклидовым, однородным и изотропным, сделало невозможным рассматривать причины такого важнейшего явления материального мира, как взаимодействие материи, и заставило в рамках этой простой модели искать для описания взаимодействия «обходные пути» —ввести понятие о дальнодействии. Тот же прием используется в механике, если условия 1° — 3° не выполнены: помимо сил, возникающих при выполнении условий 1° — 3°, в этих случаях вводятся дополнительные силы, которые подбираются так, чтобы скомпенсировать нарушение условий 1° — 3° и распространить законы механики на случай, когда не все эти условия выполняются. Так, например, поступают в механике для того, чтобы распространить ее законы на случай, когда изучается движение относительно неинерциальных систем отсчета. Аналогичным образом изучается движение системы, материальный состав которой меняется во время движения. Этот же прием используется иногда и для исследования движений в тех случаях, когда в пространстве существуют ограничения, наложенные на координаты и (или) скорости материальных точек или тел, и требуется учесть эти ограничения.

Таким образом, методы механики позволяют не только сформулировать ряд общих теорем и законов, действующих в условиях, когда выполняются предположения 1° — 3°, но и — за счет введения дополнительных сил — использовать эти законы в условиях, когда предположения 1° — 3° не выполняются.

В любом случае, однако, предполагаются выполненными исходные предположения, сформулированные в § 2. Отход от этих предположений невозможен в пределах классической механики и приводит к построению иных систем механики. Такая ситуация возникает, например, при отказе от описанных выше представлений о пространстве и времени и от принципа относительности Галилея. Именно отказ от этих исходных представлений о времени и пространстве и предположение о том, что уравнения и законы механики должны быть инвариантны (или ковариантны) по отношению не к преобразованиям Галилея, а к иным преобразованиям — преобразованиям Лоренца, привели к появлению релятивистской механики. С этими исходными представлениями связаны ограничения, в пределах которых законы классической механики могут применяться при изучении движения объектов реального мира.