§ 4. Движение среды с неподвижной точкой

Прежде чем перейти к рассмотрению этого случая движения, рассмотрим более простое движение — вращение вокруг неподвижной оси (рис. 1.13). В этом простом случае каждая точка движется по окружности вокруг оси. Поэтому скорость точки равна

где — расстояние от этой точки до оси. Величина называется угловой скоростью вращения среды.

Введем вектор , направленный вдоль оси вращения так, чтобы

где — радиус-вектор, проведенный к точке из некоторой точки, произвольно выбранной на оси вращения. Модуль вектора равен

а его направление определяется обычными правилами векторного умножения: для правой системы координат вектор направлен вдоль оси вращения так, чтобы из его конца любая точка среды, расположенная вне оси, казалась вращающейся против часовой стрелки.

Рис. 1.13.

Для ускорения имеем

Касательное ускорение равно

где — угловое ускорение. Если ввести в рассмотрение вектор , определяемый так, чтобы

то распределение касательных ускорений в среде также представится векторным произведением.

При , т. е. при ускоренном вращении среды, вектор направлен так же, как и вектор , он направлен вдоль оси вращенияпротивоположно вектору при , т. е. при замедленном вращении. Нормальное ускорение

в данном случае направлено к центру кривизны траектории, т. е. к оси вращения, и для случая вращения вокруг оси называется осестремительным ускорением.

Рис. 1.14.

Обратимся теперь к основной задаче этого параграфа — к изучению движения среды, имеющей неподвижную точку.

Теорема 1. При движении среды с неподвижной точкой в каждый момент существует единственный вектор такой, что мгновенная скорость любой точки среды определяется формулой

Доказательство. Выберем начало координат в неподвижной точке (рис. 1.14) и обозначим через орты осей и . Тогда скорость произвольной точки равна

а ее проекция на ось равна

Но и поэтому , а из тождества следует, что . Поэтому равенство (24) можно записать так:

Проекции вектора определяются аналогично:

Поэтому вектор равен

где

Теорема доказана. Более того, формула (28) позволяет определить (и притом единственным образом) вектор , если известны скорости трех точек — концов ортов i, j и k «греческой» системы отсчета . Выясним теперь, нельзя ли определить на основе меньшей информации, например по скорости только одной или двух точек.

На первый взгляд представляется, что для определения достаточно знать скорость какой-либо одной точки с . Действительно, векторное равенство

эквивалентно трем скалярным:

Однако из полученных так трех уравнений нельзя найти три неизвестные величины , поскольку определитель системы равен нулю:

Если же кроме скорости (точки с ) известно направление скорости (точки с ), неколлинеарной то вектор может быть определен. Действительно, рассмотрим плоскости , проходящие через вектор перпендикулярно и через перпендикулярно соответственно. По свойству векторного произведения вектор лежит как в , так и в , т. е. на прямой, по которой пересекаются эти плоскости. Модуль легко определить по модулю :

где — угол между вектором и прямой, по которой пересекаются плоскости .

Если в греческой системе отсчета неподвижна не одна точка , а две точки и , то неподвижны и все точки, лежащие на прямой , т. е. в этом случае имеется неподвижная ось. Направим ось греческой системы отсчета вдоль неподвижной оси . В этом случае вектор расположен в плоскости , а модуль равен , где — угол поворота оси вектор коллинеарен j и . Поэтому в случае, когда греческая система отсчета имеет неподвижную ось, формула (28) сводится к виду

т. е., как уже было указано выше, вектор направлен вдоль неподвижной оси, а скорости всех точек среды распргделены в соответствии с формулой (23). Если же в греческой системе неподвижна только одна точка, то из формулы (23) следует, что ее скорости в каждое мгновение распределены гак, как будто бы в это мгновение система вращается вокруг некоторой воображаемой оси. Направление этой оси определяется направлением вектора «в (формула (28)), а угловая скорость вращения — модулем этого вектора. Поэтому вектор называется вектором мгновенной угловой скорости, а линия его действия — мгновенной осью вращения. При в каждое мгновение равны нулю скорости тех и только тех точек, которые лежат на мгновенной оси.

Различие между вращением вокруг неподвижной оси и движением с неподвижной точкой состоит в том, что ось вращения в первом случае неподвижна, а во втором случае перемещается, проходя все время через неподвижную точку . Следы мгновенных осей образуют в неподвижном («латинском») пространстве коническую поверхность. Эта поверхность называется неподвижным аксоидом. Следы мгновенных осей в подвижном («греческом») пространстве также образуют коническую поверхность — подвижный аксоид. Каждое мгновение подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга по общей образующей — ею служит мгновенная ось. Можно доказать, что при любом движении среды вокруг неподвижной точки подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному. Вектор меняется по направлению и величине, но всегда лежит на неподвижном аксоиде (см. рис. 1.15 — этот рисунок соответствует случаю, когда неподвижный и подвижный аксоиды являются круговыми конусами с осями и соответственно). Годограф вектора , т. е. кривая, описываемая его концом, целиком лежит на неподвижном аксоиде (кривая Г на рис. 1.15).

Выше мы рассмотрели распределение скоростей в среде с неподвижной точкой , так как к этой задаче свелась общая задача о распределении скоростей при произвольном движении среды.

При этом точка греческой среды была выбрана произвольно. Естественно возникает вопрос, зависит ли вектор от выбора точки . Ответ на этот вопрос устанавливает следующая

Теорема 2. Вектор не зависит от выбора точки . Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно и что при различных исходных точках надо брать различные секторы . Выберем в греческой среде две произвольные точки и (рис. 1.16) и допустим, что им соответствуют векторы . Тогда скорость произвольно выбранной точки А можно записать двояко:

Но

поэтому

или

Точка А выбрана произвольно. Поэтому в последнем равенстве вектор также произволен и равенство может выполняться только тогда, когда . Теорема доказана.

Рис. 1.15.

Рис. 1.16.

В силу этой теоремы поле скоростей геометрической твердой среды в ее произвольном движении задается двумя векторами: вектором в данный момент и скоростью одной (произвольно выбранной) точки среды.

В заключение этого раздела докажем упоминавшееся ранее важное свойство распределения скоростей в произвольно движущейся твердой среде.

Теорема 3. Две произвольно выбранные точки твердой среды могут иметь лишь такие скорости, что проекции их на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Доказательство. Выберем в греческой среде произвольные точки А и В и в качестве О возьмем точку А. Тогда

Проектируя это равенство на направление прямой АВ, получаем

так как вектор ортогонален этому направлению.

Теорема доказана.

Выясним теперь, как распределены ускорения точек среды при ее движении с неподвижной точкой. Дифференцируя равенство (23) по времени, получаем

Введем вектор , называемый вектором мгновенного углового ускорения. Направление вектора совпадает с направлением касательной к годографу вектора (см. рис. 1.15), откладывается же он из неподвижной точки .

Вектор полного ускорения можно теперь представить так:

где

Вектор называется вращательным ускорением. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и , и по величине и направлению совпадает с касательным ускорением, которое имела бы та же самая точка при вращении с угловым ускорением вокруг оси, совпадающей с направлением вектора . Эту ось называют иногда осью ускорений.

Напомним теперь (см. начало этого параграфа), что при вращении вокруг неподвижной оси направления векторов и всегда совпадают и в связи с этим в каждой точке векторы скорости и касательного ускорения направлены вдоль одной и той же прямой — касательной к траектории. При движении среды с неподвижной точкой вектор s не совпадает по направлению с вектором , и поэтому уже не направлено по касательной к траектории и не является поэтому касательным ускорением. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, ему и присвоено особое наименование — вращательное ускорение.

При движении среды с неподвижной точкой удобнее выделясь вращательную (а не касательную) составляющую ускорения, так как это позволяет сохранить внешнее сходство формул со случаем вращения вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим теперь второе слагаемое в формуле (30). Вектор называют осестремительным ускорением. В соответствии с формулой для разложения двойного векторного произведения имеем

Пусть — орт мгновенной оси вращения; тогда

и выражение для можно переписать так:

Но — проекция вектора на направление мгновенной оси. Поэтому вектор, направленный вдоль мгновенной оси, длина которого равна этой проекции (рис. 1.17), а — вектор, направленный из рассматриваемой точки к мгновенной оси и перпендикулярный последней:

где — орт этого «направления к мгновенной оси», а — расстояние до нее. Следовательно, вектор , отложенный из любой точки, направлен к мгновенной оси. Это и предопределило название вектора — осестремительное ускорение.

Таким образом, при движении с неподвижной точкой ускорение каждой точки можно представить как сумму двух ускорений. Первое — вращательное ускорение — по величине и направлению совпадает с тем касательным ускорением, которое получалось бы при вращении среды с угловым ускорением вокруг оси ускорений, а второе — осестремительное — с тем нормальным ускорением, которое получалось бы при вращении среды с угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения.

Рис. 1.17.

В точках мгновенной оси вращения скорости и осестремительные ускорения равны нулю, но вращательные ускорения отличны от нуля. Именно в силу этих ускорений мгновенная ось вращения перемещается: благодаря им ее точки, скорости которых в данный момент равны нулю, в следующий момент приобретают скорости, отличные от нуля.

В точках оси ускорений равны нулю вращательные ускорения, но скорости и осестремительные ускорения отличны от нуля. Этим обусловлено движение оси ускорений.