§ 6. Вириал системы
В отличие от ранее рассмотренных теорем и законов механики в этом параграфе мы введем характеристику движения, имеющую статистический характер и связанную с усреднением механических величин во времени. Пусть 
— скалярная функция времени или механических величин, которые в свою очередь зависят от времени, и пусть 
— среднее значение F за время 
, т. е. по определению
Введем теперь в рассмотрение скалярную функцию
Ее полная производная по времени равна
Но
а
и поэтому
Усредним это равенство, т. е. проинтегрируем его правую и левую части по t от 0 до 
и разделим на 
:
Правая часть этого равенства обращается в нуль, если выполняется одно из следующих условий:
1° Движение периодическое с периодом 
; в этом случае при всех 
, так что 
.
2° Интервал 
неограничен, а функция 
ограничена. При неограниченном 
средним значением F называется предел
Последнее равенство можно тогда переписать так:
Функция G ограничена, если при всех 
ограничены. Движение, для которого выполняется это условие, т. е. для которого
называется финитным.
Таким образом, если выполняется условие 1° или условие 2°, то
Правая часть этого равенства называется вириалом системы, а само равенство составляет содержание теоремы о вириале: При выполнении условий 1° или 2° среднее за время 
значение кинетической энергии системы равно ее вириалу.
Если система консервативна, т. е. если движение происходит в стационарном потенциальном поле с потенциальной энергией П, то
и равенство, выражающее теорему о вириале, можно записать так:
Рассмотрим теперь частный, но достаточно распространенный случай, когда П — однородная функция 
степени, т. е. функция, удовлетворяющая условию
В этом случае в соответствии с теоремой Эйлера об однородных функциях
и поэтому теорема о вириале приводит к равенству
С другой стороны, для консервативной системы в силу закона сохранения энергии
усредняя это равенство, получаем
Из равенств (28) и (29) следует, что
Эти соотношения устанавливают, в какой пропорции начальная энергия 
«делится в среднем» между кинетической и потенциальной энергией во время движения консервативной системы, если П — однородная форма 
степени и выполняется условие 1° или условие 2°.
