§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали
В плоскости зададим прямоугольную
систему координат 
.
Уравнения
,
(1)
где 
и 
- непрерывные функции на интервале 
определяют непрерывную
кривую 
-
геометрическое множество точек 
плоскости, где 
. Говорят еще, что кривая задана при помощи
параметра 
.
Ее уравнение можно задать в векторной форме
, (1’)
где 
, 
- единичные орты соответственно осей 
, 
, а 
- радиус-вектор
точки ,
соответствующей значению параметра (рис. 68).
Вектор 
называют вектор-функцией (определенной
для ).
Говорят в связи с этим, что
кривая есть
годограф вектор-функции - геометрическое место концов векторов
,
выходящих из нулевой точки 
.
Рис. 68 Рис.
69
Кривая называется гладкой на
, если
функции 
и
имеют
непрерывные производные на , одновременно не равные нулю.
Если 
придать приращение 
, то вектор 
получит приращение
(рис. 69)
,
откуда, деля на скаляр 
, получим
.
Для гладкой кривой
.
Вектор 
называют производной от (в точке ) и записывают так:
.
Можно производную 
определить также
как такой вектор, для которого
.
В самом деле,
.
Пишут
и говорят, что вектор есть предел
вектора 
при
. Из рис.
69 видно, что вектор направлен по касательной к в точке в сторону возрастания
.
Вектор называют вектором
касательной к .
Длина его равна
.
Единичный вектор касательной
есть
,
(2)
где 
- угол между 
и положительным направлением
оси 
.
Единичный вектор нормали к
, т. е.
единичный вектор перпендикулярный к , определяется равенством
(3)
или
. (
)
Определитель
.
Верхние знаки соответствуют
случаю, когда пара векторов 
ориентирована так же, как оси 
(рис. 70), а нижние
– когда пара ориентирована
противоположным образом (рис. 71).
Рис.
70 Рис. 71
Вторая производная от вектор-функции 
(см. (1’)) определяется как
предел
.
На рис. 72 изображена кривая ; точка 
соответствует
значению ,
а точка 
-
значению 
.
К этим точкам приложены касательные векторы 
и 
. Второй вектор мы перенесли так,
чтобы он был приложен к точке . На рисунке обозначена разность 
и вектор 
, имеющий то же
направление, что и 
. Наконец, отмечен предельный вектор 
. Вектор 
направлен в сторону
вогнутости .
Точно эти слова надо понимать следующим образом: вектор образует острый угол с
вектором 
нормали
к , направленной
в сторону вогнутости .
Рис. 72
П р и м е р. В векторной форме
уравнение (см. § 4.21) эллипса имеет вид
.
Соответственно вектор касательной
,
а вектор нормали
.
В данном случае 
, вообще говоря, не
единичный вектор.
Вектор-функцию 
в окрестности точки
можно
разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный ряд Тейлора). Пусть
,
где и имеют необходимое число производных в
окрестности точки .
Тогда, разлагая эти функции по формуле Тейлора, получаем
, (4)
, (5)
где 
, 
- остаточные члены в какой-либо форме
(Лагранжа, Коши и т. д.). Умножая (4) на 
, а (5) на 
и складывая, получим формулу
Тейлора для вектор-функции 
:
,
где остаток
.
Отметим, что если
остатки и
записываются
в форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные 
-го порядка функций и вычисляются, вообще
говоря, в разных точках.
