§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей

229. Длина окружности.

Наглядное представление о длине кривой линии, в частности окружности, как о длине нити, навернутой на эту линию, а затем распрямленной, не позволяет математически обоснованно вычислить длину кривой. Следующее определение длины окружности позволяет вычислить эту длину и принципиально близко к общему определению длины кривой, которое рассматривается в курсах высшей математики.

Определение. Длиной окружности называется общий предел, к которому стремятся периметры вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

Это значит, что в окружность вписываются (и вокруг нее описываются) правильные многоугольники, например шестиугольник (начинаем с него, как с простейшего), а затем двенадцатиугольник, двадцатичетырехугольник и т. д.

Как доказывается, периметры вписанных и описанных многоугольников стремятся при этом к одному и тому же пределу; этот предел принимается по определению за длину окружности. Можно было бы в определении говорить не об удвоении, а об утроении, упятерении или об увеличении числа сторон на единицу; но удвоение удобнее тем, что при этом рассуждения значительно упрощаются. Можно доказать, что, вообще, периметр правильного многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон стремится к тому же пределу — длине окружности, в которую многоугольник вписан (вокруг которой он описан). Более того, важно лишь, что длины сторон многоугольника стремятся к нулю; при соблюдении этого условия можно даже допустить и произвольные, не обязательно правильные многоугольники (центр окружности должен лежать внутри многоугольников).

Для оправдания данного выше определения длины окружности нам предстоит доказать три утверждения: 1°. Периметры вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон стремятся к определенному пределу Р. 2°. Периметры описанных многоугольников при том же условии также имеют определенный предел . Оба указанных предела равны: .

1°. Периметры вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон стремятся к определенному пределу:

Действительно, при удвоении числа сторон периметр возрастает: . В то же время величина этого периметра остается ограниченной; она заведомо не превышает периметра шестиугольника, описанного вокруг данной окружности. По признаку существования предела монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательности (п. 84) предел периметров вписанных многоугольников существует:

2°. Периметры описанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон стремятся к определенному пределу.

Действительно, периметр при этих условиях убывает, но ограничен снизу (подробности оставляем читателю). Полагаем

3°. Пределы периметров вписанных и описанных многоугольников равны:

Заметим сначала, что сторона вписанного правильного -угольника стремится к нулю при увеличении числа его сторон. В самом деле, периметр ограничен, число же сторон стремится к бесконечности; длина одной стороны будет бесконечно малой величиной при

Далее, апофема вписанного многоугольника при тех же условиях имеет своим пределом радиус окружности. Это видно из неравенства, связывающего радиус, апофему и сторону (см. рис. 314): .

Отсюда и так как , то и .

Вспомним теперь, что периметры двух правильных -угольников относятся, как их апофемы. Имеем для вписанного и описанного и при (например, при неограниченном удвоении числа сторон)

По теореме о пределе частного отсюда получим

т. е. оба предела, как и требовалось доказать, совпадают. Теперь получается

Основная теорема о длине окружности. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, не зависящая от диаметра.

Действительно, имеем

Из этого равенства видно, что отношение длины окружности к ее диаметру, выраженное в виде предела , не зависит от самого диаметра; оно обозначается яиравно поэтому мы и пишем быражение для длины окружности в виде

Зная длину окружности, нетрудно вычислить длины любых дуг окружности. Пусть требуется, например, определить длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу радиан). Так как равным центральным углам отвечают равные дуги, то всякая дуга составляет такую долю от полной окружности, какую ее центральный угол радиан) составляет от полного угла радиан). Отсюда получается пропорция и для угла, выраженного в градусной (радианной) мере, имеем соответственно

Последняя формула проще:

Длина дуги окружности равна произведению ее радиуса на центральный угол, выраженный в радианах.

В этом проявляется одно из преимуществ радианной меры перед градусной.

Задача 1. Найти длину, дуги в одну секунду на экваторе земного шара.

Решение. Примем экваториальный радиус земного шара за 6300 км. Тогда имеем

Задача 2. Найти длину окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с.

Решение. Имеем для периметра треугольника выражение

Площадь треугольника равна Но для радиуса вписанной окружности известно соотношение Отсюда искомая длина равна

Задача 3. Найти длину дуги окружности радиуса R, отсекаемой от нее прямой, проходящей на расстоянии d от центра окружности

Решение. Для косинуса половины центрального угла находим

Задача 4. Найти периметр луночки, образованной дугами двух равных окружностей радиуса R, расположенных так, что каждая из них проходит через центр второй.

Рис. 320.

Решение. Имеем по рис. т. е. треугольник равносторонний. Поэтому центральный угол МОМ содержит 120°. Каждая из дуг, ограничивающих луночку, составляет одну треть полной окружности, а весь периметр равен