72. Уравнение сферы.

Пусть центр сферы находится в точке , а радиус сферы равен Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до точки А равно Квадрат расстояний от любой точки сферы до точки А равен Поэтому уравнение сферы с центром и радиусом имеет вид:

Сфера с центром (2; —1; 3) и радиусом 5 задается уравнением

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы с радиусом таково:

Шар задается не уравнением, а неравенством. Рассмотрим шар с центром и радиусом . По определению шара (п. 54) ему принадлежат все такие точки для которых Учитывая, что , получим:

Бели центр шара находится в начале координат, то неравенство таково:

Аналогично круг радиуса в прямоугольных координатах на плоскости с центром или в начале координат задается неравенством

Пример. Запишите уравнение сферы, проходящей через точки если радиус ее равен 3.

Решение. Уравнение сферы с центром и радиусом 3 имеет вид Ему должны удовлетворять координаты точек А, Б и С. Числа и с отыскит ваются из системы трех уравнений, получающихся при подстановке в уравнение сферы координат трех данных точек:

Почленно вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем откуда Значение с отыскивается подстановкой найденных значений в первое уравнение:

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условию задачи, их центры уравнения таковы: