2.2. МЕТОД ЧАСТНЫХ СРЕДНИХ

Среднее, связанное с определенными предположениями или вычисленное при определенных условиях, называется частным, условным или групповым средним. Частные средние переменных х и у вычисляются по формулам

где — частное среднее переменной x для группы значений переменной у; — частное среднее переменной у для группы значений переменной х; — число отдельных значений в группе и группе p;

В табл. 1 указаны частные средние переменной у, вычисленные для групп предприятий с одинаковыми по величине основными фондами. Следовательно, эти частные средние обусловлены уровнем основных фондов.

Таблица 1. Сведения о стоимости основных фондов и объеме производства за квартал по 52 предприятиям. Частные средние значения объема производства вычислены для каждой группы предприятий с одинаковыми по величине основными фондами. Предприятия расположены по уровням основных фондов (см. скан)

Если одному значению основных фондов соответствует только одно значение объема производства, то последнее является также частным средним. Если одному значению основных фондов соответствует несколько значений объема производства, то частное среднее вычисляется по этому ряду значений. Итак, частные средние выравнивают различные значения объема производства, соответствующие одному значению основных фондов, показывают средний уровень значения признака. Аналогично получают частные средние переменной х в табл. 2 — частные средние значений основных фондов, соответствующие определенным значениям объема производства.

Таблица 2. Сведения о стоимости основных фондов и объеме производства за квартал по 52 предприятиям. Частные средние значения основных фондов вычислены по каждой группе предприятий с одинаковым по величине объемом производства. Предприятия расположены по уровням основных фондов (см. скан)

Вычисленные частные средние переменной у сопоставляются со значениями переменной х (см. табл. 1). Одно из преимуществ применения метода частных средних заключается в том, что сравнение производится не по 52 парам наблюдений, а только по 24. Более наглядная картина получается при графическом представлении частных средних. Для этой цели из точек, соответствующих значениям х, мысленно восстанавливаем ординаты, пропорциональные значениям . Вершины ординат последовательно соединяем прямолинейными отрезками. Полученная ломаная линия называется также эмпирической линией регрессии у на х. Линия регрессии показывает, как смещаются ряды распределения у с увеличением х или как в среднем изменяется у с увеличением х.

На график рис. 10 нанесены частные средние График отражает отчетливую тенденцию к росту частных средних с увеличением значений х. Увеличение значений у также вызывает рост частных средних Поступательный ход обеих эмпирических линий регрессий несколько нарушается зигзагами, которые имеют случайный характер.

Эмпирическая линия у на х, представленная на рис. 10, не совпадает с эмпирической линией х на у. По этой причине необходимо различать направление зависимости между изучаемыми переменными. Если исходить из того, что х является объясняющей переменной, то для каждого значения х получим соответствующие частные средние значений зависимой переменной у. И, напротив, если у рассматривается как объясняющая переменная, то вычисляем частные средние значений переменной х для фиксированных значений у (см. табл. 2). Особенно важным является вопрос о выборе зависимой и объясняющей переменной при логически необратимых регрессиях.

Рис. 10. Эмпирическая (ломаная) линия регрессии

Например, при изучении зависимости урожайности сельскохо зяйственных культур от метеорологических условий вполне очевидно, что зависимой переменной может быть только урожайность, а объясняющей — метеорологические условия. Поменять местами эти переменные невозможно: это противоречит здравому смыслу.

Как уже указывалось, эмпирическая линия регрессии изменяется зигзагообразно. Величина зигзага зависит в значительной степени от вариабельности отдельных значений и от числа наблюдений, по которым вычисляется соответствующее частное среднее. Поэтому желательно каждое частное среднее сопровождать указанием вариационного размаха или непосредственно максимальным или минимальным значениями из того ряда наблюдений, по которым оно вычисляется. Эмпирическую линию регрессии полезно рассматривать на диаграмме рассеяния на фоне скопления индивидуальных точек, которые она осредня ет. Зигзаги линии регрессии больше на тех участках, где наблюдений мало, и они уменьшаются в тех частях графика, которые проходят среди значительного числа точек. Эмпирическая линия регрессии называется также регрессией первого рода [43].