8.6. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ДЕТЕРМИНАЦИИ

При выполнении процедуры проверки значимости коэффициента детерминации выдвигается нулевая гипотеза против альтернативной которые заключаются в следующем.

существенного различия между выборочным коэффициентом детерминации и коэффициентом детерминации генеральной совокупности нет.

Эта гипотеза равносильна гипотезе т. е. ни одна из объясняющих переменных, включенных в регрессию, не оказывает существенного влияния на зависимую переменную.

выборочный коэффициент детерминации существенно больше коэффициента детерминации генеральной совокупности

Из постановки задачи ясно, что следует использовать одностороннюю критическую область. Принятие гипотезы означает, что по крайней мере одна из объясняющих переменных, включенных в регрессию, оказывает существенное влияние на переменную у.

Для оценки значимости парного коэффициента детерминации используется статистика

имеющая -распределение Фишера степенями свободы. Значение статистики, вычисленное по (8.50), сравнивается с критическим значением этой статистики, найденным по табл. 4 приложения при заданном уровне значимости а и соответствующем числе степеней свободы. Если а, то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от нуля. Этот вывод обеспечивается с вероятностью 1 — а.

Пример

В разделе 3.2 был вычислен по предприятиям коэффициент детерминации для регрессии, отражающей зависимость производительности труда от уровня механизации работ, По (8.50) получим

Зададимся уровнем значимости Числа степеней свободы соответственно следующие: По табл. 4 приложения находим критическое значение Вследствие того что делаем вывод, что существенно отличается от нуля, и, следовательно, включенные в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную.

Можно показать, что при всегда Тогда (8.50) можно записать в виде

Эта величина имеет -распределение с степенями свободы. Если мы теперь учтем, что (см. (4.13)), то отсюда следует, что с помощью критерия (8.51) можно проверить также значимость коэффициента корреляции.

Оценка значимости коэффициента множественной детерминации производится с помощью статистики

которая имеет -распределение степенями свободы. Здесь — количество учитываемых объясняющих переменных. Значение статистики (8.52), вычисленное по эмпирическим данным, сравнивается с табличным значением а. Критическое значение определяется по табл. 4 приложения по заданному а и степеням свободы Правило проверки аналогично процедуре оценки значимости коэффициента парной детерминации.

Пример

В разделе 3.3 были вычислены два коэффициента множественной детерминации, по наблюдениям соответственно для объясняющих переменных Имеем:

Итак, в обоих случаях Коэффициенты множественной детерминации существенно отличны от нуля, и, следовательно, рассматриваемые регрессии достаточно определены включенными переменными.

Для оценки значимости коэффициента частной детерминации используется статистика

которая имеет -распределение с степенями свободы. Здесь — число переменных, исключенных при вычислении коэффициентов частной детерминации. Процедура проверки значимости аналогична описанным выше.