11.3. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Будем исходить из того, что найдены МНК-оценки параметров линейной регрессии и вычислены остатки.

При применении метода наименьших квадратов предполагается равенство нулю ковариаций возмущающих членов (см. предпосылку 3 в разделе 2.9). Эта предпосылка особенно важна при построении регрессии по временным рядам. Равенство нулю ковариаций для модели с нормально распределенными возмущениями означает их попарную независимость. Если же возмущающие переменные содержат тренд или циклические колебания, то последовательные возмущения, действующие в различные моменты времени, коррелированы. Такой вид корреляции называется автокорреляцией возмущений, или остатков. Далее будут рассмотрены последствия, вызываемые автокорреляцией возмущений, и критерии, позволяющие установить ее существование. При этом мы заранее отказываемся от доказательств обсуждаемых утверждений.

Зависимость между последовательными возмущениями может быть установлена и оценена с помощью регрессии. Покажем это на простом примере с авторегрессией первого порядка, т. е. в случае линейной зависимости между последовательными возмущениями:

где — коэффициент автокорреляции для которого выполняется условие Переменная в (11.15) должна удовлетворять требованиям:

Так как значения возмущающих переменных и коэффициента автокорреляции неизвестны, заменим их соответствующими оценками:

Оценка параметра может быть найдена с помощью метода наименьших квадратов. В соответствии с (2.26) и учитывая (2.73), имеем

Если положительно, то мы располагаем положительной автокорреляцией остатков. Она возникает, если возмущения характеризуются трендом или циклическими колебаниями, что часто встречается при экономических исследованиях. Если отрицательно, то мы имеем отрицательную автокорреляцию остатков. Отрицательная автокорреляция остатков наблюдается, если остатки попеременно принимают, то положительные, то отрицательные значения.

Перечислим последствия, вызываемые автокорреляцией остатков:

1. Матрица дисперсий и ковариаций возмущений (см. формулу (2.80)) не будет более диагональной. При наличии автокорреляции в случае справедливости гипотезы о гомоскедастичности дисперсия возмущающей переменной равна:

а ковариация между выражается как

Матрица дисперсий и ковариаций принимает вид:

Несмещенная оценка дисперсии возмущающей переменной следующая:

Итак, при автокоррелированных возмущениях применение известной формулы (3.32) приводит к недооценке дисперсии возмущающей переменной.

2. Результатом автокорреляции возмущений является также недооценка истинной выборочной дисперсии параметра регрессии в случае

применения формулы (3.41). Определив при наличии автокорреляции остатков с помощью (11.21) и воспользовавшись (3.40), получим

Недооценка дисперсий — препятствие к корректному применению обычного метода наименьших квадратов к модели с автокоррелированными возмущениями, даже если вводятся соответствующие поправки в оценки выборочных дисперсий. Кроме того, возникают затруднения при использовании критериев значимости (см. главу 8), так как распределения вычисляемых статистик отличаются от и -распреде-лений.

Исходя из изложенного ясно, что чрезвычайно важно иметь критерии, позволяющие устанавливать наличие автокорреляции. Здесь мы рассмотрим один из самых распространенных критериев, получивший название критерия Дарбина — Уотсона.

При применении этого критерия формулируется нулевая гипотеза отсутствии автокорреляции — Альтернативная гипотеза сможет быть построена на основе использования односторонней критической области — т. е. существует положительная автокорреляция, либо т. е. существует отрицательная автокорреляция, или на основе использования двусторонней критической области — . При этом применяется статистика

Между статистикой (статистика Дарбина — Уотсона) и коэффициентом автокорреляции существует приближенное соотношение:

Возможные значения статистики лежат в интервале Если возмущения не содержат автокорреляцию, т. е. то значения статистики располагаются вблизи числа 2. При сильной положительной корреляции остатков величина близка к нулю. Сильная отрицательная корреляция остатков приводит к тому, что величина приближается к 4.

Статистика принимает небольшие значения, если последовательные величины оказываются очень близки друг к другу. Это может свидетельствовать о наличии тренда или о циклических колебаниях. Если остатки принимают последовательно то положительные, то отрицательные значения, сумма квадратов их разностей становится большой по величине. В результате статистика также принимает большие значения.

Выборочное распределение статистики необходимое для проверки гипотезы о некоррелированности остатков, имеет сложный вид. Чтобы не обращаться непосредственно к этому распределению, можно воспользоваться

методом Дарбина и Уотсона, которые установили верхний и нижний пределы значимости статистики Эти критические значения зависят от уровня значимости а, объема выборки Т и числа объясняющих переменных т. В табл. 8 приложения приведены значения для -ного, 2,5%-ного и 1%-ного уровней значимости при Т от 15 до 100 и числе объясняющих переменных, от 1 до 5.

Критерий Дарбина — Уотсона обладает двумя недостатками. Первый из них заключается в том, что критические границы принятия нулевой гипотезы и непринятия альтернативной гипотезы не совпадают. Как показано на рис. 25, критические значения образуют пять областей различных статистических решений. При этом появляются области неопределенности, в которых с помощью данного критерия нельзя прийти ни к какому решению (нулевая гипотеза не принимается и не отвергается).

Рис. 25. Применение критерия Дарбина — Уотсона

Второй недостаток заключается в том, что при объеме выборки меньше 15 для не существует критических значений

Вычисленное по (11.24) значение сравнивается с найденными по табл. 8 приложения. При этом руководствуются правилами:

— принимается гипотеза (автокорреляция остатков отсутствует).

— принимается гипотеза (существует положительная автокорреляция остатков).

и — при выбранном уровне значимости нельзя прийти к определенному выводу (необходимо дальнейшее исследование).

— принимается гипотеза (существует

отрицательная автокорреляция остатков).

Часто автокорреляция остатков — следствие ошибки спецификации регрессии. Причины возникновения автокорреляции остатков: в регрессии не учтена какая-либо объясняющая переменная, играющая существенную роль в исследуемом явлении;

выбранный тип функции регрессии неадекватно отражает объективную связь (в этом смысле критерий Дарбина — Уотсона может быть использован в качестве критерия линейности);

применяемый критерий не может служить объективным показателем автокорреляции;

числовой материал содержит большие ошибки наблюдений.

Если с помощью критерия установлена значимая автокорреляция остатков, то мы должны попытаться исследовать возможные причины ее возникновения и построить такую модель регрессии, где меньше будет угроза возникновения автокорреляции возмущений.