6. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Если между исследуемыми явлениями существуют нелинейные соотношения, то, так же как в случае линейной связи, интересуются теснотой зависимости, ее силой. В главе 4 была введена мера интенсивности связи — коэффициент корреляции, но среди прочих условий предполагалось, что исследуемые явления при этом имеют линейные соотношения. Если эти соотношения отличаются от линейных, то коэффициент корреляции в его принятой для линейной связи форме не сможет отражать интенсивность связи. Так, если вычислить коэффициент корреляции для двух формальных статистических рядов:

то он окажется равным нулю хотя очевидно, что между обоими рядами существует тесная связь. Но из этого вовсе не следует, что линейный коэффициент корреляции в некоторых случаях не приводит к нужным результатам при нелинейной связи рядов наблюдений. Наряду с этим все-таки существует необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при нелинейных соотношениях. Таким показателем связи может служить индекс корреляции.

6.1. ПРОСТАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ПРИ НЕСГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим вначале измерение интенсивности нелинейной связи между двумя явлениями, объективно существующая зависимость между которыми выражается с помощью квазилинейной функции. Индекс корреляции, используемый для характеристики интенсивности связи, обозначим через . С помощью соотношения (4.12) из раздела 4.3, которое имеет место также для нелинейных связей, получим

Выведем из (6.1) путем некоторых преобразований удобные для вычислений формулы индекса корреляции. Разделим числитель и знаменатель в подкоренном выражении (6.1) на

Выражение (6.1) мы можем представить также в таком виде:

Раскрыв в (6.3) скобки, получим

Так как при квазилинейной регрессии остается в силе равенство при дальнейших упрощениях получим

или

Индекс корреляции принимает значения в интервале

Если дисперсия обусловленная зависимостью переменной у от х, равна общей дисперсии то В этом случае для всех т. е. мы располагаем функциональной связью между наблюдаемыми переменными.

Если необъясненная дисперсия остатков равна общей дисперсии то В этом случае (см. (6.3)). Линия регрессии параллельна оси абсцисс, из чего можно заключить, что связь в том смысле, как она понимается в корреляционном анализе, отсутствует. Чем больше значение индекса корреляции приближается к 1, тем сильнее наблюдаемая связь. Индекс корреляции связан с коэффициентом детерминации соотношением (6.1). Чем ближе индекс

корреляции к 1, тем больше коэффициент детерминации и тем больше определена регрессия включенными в анализ объясняющими переменными.

Пример

Оценим интенсивность связи между себестоимостью единицы изделия и объемом продукции (см. раздел 5.1). При описании зависимости многочленом второй степени получим следующее значение индекса корреляции по (6.6):

Если регрессию представить в виде гиперболической функции, для которой , то

Связь между наблюдаемыми значениями в нашем примере очевидно сильнее, если мы для описания зависимости используем целую рациональную функцию второй степени. На данном интервале изменения переменных более пригодна для прогнозирования эта функция регрессии, чем гиперболическая. На это указывает также коэффициент детерминации 87,6% (и 73% для гиперболической). Как уже обсуждалось в разделе 5.1, гиперболическую функцию следует предпочитать только в соответствии с общими теоретико-экономическими соображениями.

Индекс корреляции не дает возможности судить о характере корреляции (положительная или отрицательная). Об этом можно сделать заключение, лишь рассматривая график кривой регрессии. В данном примере имеем отрицательную нелинейную связь.

Как было показано ранее, линейный коэффициент парной корреляции является симметричной функцией относительно Особо следует подчеркнуть, что этим свойством не обладает индекс корреляции, т. е.

В разделе 2.5 мы подробно описывали, что в случае простой линейной регрессии имеются две сопряженные прямые регрессии, т. е. функция регрессии не обладает свойством обратимости. Это справедливо также для простой нелинейной регрессии и корреляции. При вычислении индекса корреляции, как известно, исходят из нелинейной регрессии. Естественно поэтому, что мы придем к различным результатам, если вначале будем основываться на функции а затем — на . Аналогично тому как при простой линейной регрессии имеем две сопряженные прямые регрессии, так при нелинейной корреляции получаем различные сопряженные индексы корреляции. Это связано с тем, какая из переменных выбрана в качестве подлежащей объяснению. При простой линейной корреляции указывается только один коэффициент парной корреляции. В случае нелинейной связи

между Явлениями коэффициент детерминации же, как индекс корреляции, не является симметричной функцией относительно переменных, т. е. Формулы для при нелинейной корреляции легко получить из (6.1)-(6.6) путем замены в них на

По аналогии с нелинейной регрессией второго класса мы можем рассматривать нелинейную корреляцию второго класса. В этом случае для измерения тесноты связи можно пользоваться также формулой (6.1). Величина индекса корреляции при этом заключена в границах: Индекс корреляции измеряет интенсивность нелинейной связи между явлениями, если параметры нелинейной регрессии второго класса определяются с помощью аппроксимации или с привлечением некоторого итерационного метода. Если же производят линейное преобразование нелинейной функции второго класса с целью подгонки к эмпирическим данным, то индекс корреляции не может служить источником достоверной информации об интенсивности связи между исходными переменными. Он представляет собой тогда вместе с коэффициентом детерминации показатель степени близости кривой регрессии к эмпирическим данным.