1.7. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, «хи-квадрат»-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, t-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальное распределение, называемое также распределением Гаусса—Лапласа, — наиболее часто встречающийся вид распределений. Многие распределения могут быть также аппроксимированы нормальным. Оно используется при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез.

Непрерывная случайная величина распределена нормально, если плотность ее распределения имеет вид

где — математическое ожидание; — дисперсия случайной величины; — основание натурального логарифма;

Рис. 3. Стандартная нормальная кривая

Функция плотности нормального распределения определена на всей числовой оси х от до , т. е. каждому значению х соответствует вполне определенное значение функции. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения.

Для табулирования функции плотности целесообразно преобразовать случайную величину. Положим, что

Тогда из (1.31) получим выражение нормированной (стандартной) плотности нормального распределения

где

На рис. 3 представлен график стандартного нормального распределения, симметричного относительно оси, проходящей через точку Функция плотности в точке достигает максимума, равного Кривая распределения имеет две точки перегиба при Касательные в точках перегиба пересекают ось абсцисс в точках . Функция плотности стандартного нормального распределения быстро убывает по обе стороны от и ветви

кривой асимптотически приближаются к оси X. Значения нормировав ной плотности для различных X приведены в табл. 1 приложения. Аналогично (1.24) можно утверждать, что

Функция называется функцией нормального распределения. Эта функция указывает вероятность, с которой случайная величина не превысит значение X. Значения приведены в табл. 2 приложения.

На рис. 4 представлена интегральная кривая стандартного нормального распределения.

Рис. 4. Интегральная кривая стандартного нормального распределения

С помощью функции распределения можно указать, с какой вероятностью нормальная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу

На рис. 5 заштрихованные площади соответствуют Вследствие симметрии нормальной кривой распределения между существуют следующие соотношения (см. рис. 5):

С помощью табл. 2 приложения и соотношений можно указать, с какой вероятностью нормированное значение нормальной случайной величины попадет в заранее выбранный интервал.

Например,

Рис. 5. Соотношение между

Из приведенных результатов видно, что рассеяние нормальной случайной величины практически укладывается на участке . Этим выводом воспользуемся при проверке результатов выборки. Например,

пусть принята гипотеза, что имеющиеся эмпирические данные удовлетворяют нормальному распределению. Проверке подлежит значение, попадающее за -границы нормального распределения. Тогда с вероятностью 0,9973 мы можем утверждать, что проверяемое значение не принадлежит данной генеральной совокупности.

Кроме нормального, при проверке гипотез используются другие виды распределений. Рассмотрим теперь -распределение. Случайная величина, представляющая собой сумму квадратов независимых случайных величин, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение, называется случайной величиной с распределением степенями свободы. Сумма квадратов реализации этих случайных величин обозначается через

Плотность -распределения выражается так:

Из определения (1.39) следует, что кривая распределения может лежать только в I квадранте (рис. 6). Кривая -распределения одновершинная, асимметричная и асимптотически приближается к оси

Рис. 6. -распределение

С ростом вершина кривой сдвигается вправо от начала координат и -распределение стремится к нормальному.

-распределением мы будем пользоваться при проверке значимости коэффициентов корреляции (раздел 8.5), коэффициентов ассоциации и сопряженности (глава 13). Задаваясь доверительным уровнем, с помощью таблицы -распределения по числу степеней свободы устанавливают критическое значение с которым сравнивают расчетное значение. Если вычисленное значение меньше табличного, т. е. оно попадает в область принятия гипотезы то рассматриваемая гипотеза не находится в явном противоречии с данными наблюдений. Если вычисленное значение превосходит табличное или равно ему, т. е. оно попадает в

область отклонения гипотезы то рассматриваемая гипотеза отвергается.

Распределение Стьюдента, или -распределение, с степенями свободы широко используется в корреляционном и регрессионном анализе при построении различных доверительных интервалов и проверке значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Распределение Стьюдента определяется следующим образом. Если случайная величина х имеет стандартное нормальное распределение, а величина — распределение степенями свободы, причем х и независимы, то при этих условиях плотность вероятности величины имеет вид

Кривая распределения симметрична относительно оси, проходящей через ее ветви асимптотически приближаются к оси При малых значениях кривая -распределения более плоская, чем кривая стандартного нормального распределения. Так же, как и -распреде-ление, -распределение с ростом числа степеней свободы приближается к нормальному (рис. 7). Распределение Стьюдента позволяет исследовать распределение выборочного среднего нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

Рис. 7. -распределение при и стандартное нормальное распределение

При проверке значимости коэффициента детерминации используется -распределение (см. раздел 8.6). Это отношение двух выборочных дисперсий, построенных по независимым выборкам из одной и той же нормальной генеральной совокупности, впервые было исследовано Р. А. Фишером. Подобно -распределению -распределение не зависит от дисперсии нормальной генеральной совокупности, а его параметрами являются — число степеней свободы числителя и — число степеней свободы знаменателя. Плотность вероятности -распределения

выражается следующим образом:

Поскольку — это отношение двух квадратов отклонений, F может принимать значения только от 0 до (рис. 8). Кривые F-pacnpeделения асимметричны и одновершинны. При возрастании и приближается к нормальному.

Рис. 8. F-распределение

Для проверки гипотез относительно параметров генеральных совокупностей, кроме приведенных, используется ряд других распределений. Например, биномиальное, пуассоновское, логарифмическое, распределение Неймана, усеченное нормальное распределение. Но их описание выходит за рамки данной книги.