7.6. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

На практике часто прибегают к различным упрощенным и грубым методам оценивания. В частности, получил распространение метод, известный под названием метода построения регрессии по точкам или метода сумм. На наш взгляд, принципиальные основы этого метода

заложены в работах М. С. Бартлета, А. Вальда, В. М. Гибсона и Г. X. Джоветта, 3. Хельвига и других.

Существуют различные варианты этого метода. Один из них — метод двух точек. При его применении достаточно двух различающихся между собой парных наблюдений которые подставляют в уравнения с двумя неизвестными:

Решая эту систему уравнений относительно находят приближенные оценки параметров регрессии.

При использовании другого варианта этого метода все пары наблюдений разбиваются на две группы. К первой группе — нижней — относят все те пары наблюдений, которые меньше среднего. Ко второй группе — верхней — относят те пары наблюдений, которые больше среднего. В качестве разделительного элемента, кроме среднего, может быть взято также любое другое значение в интервале между или Но чаще всего прибегают к среднему.

Для достижения однозначности в вопросе отнесения пары наблюдений к соответствующей группе в качестве разделительного элемента при определении используют среднее значение объясняющей переменной. К нижней группе приписывают все те пары наблюдений Для которых Эти наблюдения обозначают Остальные пары наблюдений для которых относят к верхней группе. Значения этой группы наблюдений обозначают

При определении оценок параметров сопряженного уравнения регрессии в качестве разделительного элемента используют среднее зависимой переменной. Те пары наблюдений, для которых приписывают к нижней группе, а для которых — к верхней группе. В соответствии с этим вводят обозначения наблюдений — или Через обозначают средние в соответствующих группах наблюдений, а через — количество пар наблюдений в 4 группах. При этом Можно легко убедиться, что точки приблизительно лежат на одной прямой в предположении линейной регрессии. Аналогично точки приближенно лежат на сопряженной прямой. Исходя из этих соображений приблизительные оценки коэффициентов соответствующих уравнений регрессий находят с помощью следующих формул:

Оценки определяют по (2.24), а коэффициент корреляции — по (4.16). При применении этого метода коэффициент корреляции может получиться больше единицы. Кроме того, при определенных условиях у коэффициентов регрессии могут оказаться различные знаки. В этих случаях считают, что и не исключено, что имеется нелинейная связь.

Если среднее всей выборки и средние значения групп приблизительно лежат на одной прямой, то формулы (7.19) и (7.20) можно упростить. В этом случае

Вместо средних применяют также соответствующие суммы. Подставив в формулы вместо средних их выражения, после некоторых преобразований получим:

Аналогично получают выражение для При линейных соотношениях между переменными метод сумм позволяет определить коэффициенты регрессии и корреляции с достаточной точностью.