Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.5. СОПРЯЖЕННЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ ПРЯМЫЕДо сих пор обсуждалась регрессия у на х:
т. е. у рассматривалась как зависимая переменная, Все рассуждения относительно регрессии у на В предположении линейной зависимости в качестве функции регрессии примем уравнение прямой
По сравнению с регрессией у на х переменные в (2.28) поменяли свои места. Зависимой переменной, или переменной, подлежащей объяснению, в данном случае является х, а независимой, или объясняющей, переменной — у. Коэффициенты Параметр Из-за разброса эмпирических точек вокруг прямой регрессии снова можно рассматривать отклонения наблюдаемых значений переменной х от расчетных значений регрессии х, которые мы обозначим через
Значения
Из сказанного выше следует, что интерпретация регрессионной прямой, параметров регрессии, расчетных значений функции регрессии х на у аналогична смысловому истолкованию тех же понятий при рассмотрении регрессии у на х. Должно быть принято во внимание только обратное направление зависимости, а также то, что отклонения
После нахождения частных производных по неизвестным парамет рам и приравнивая их нулю получаем так же, как в разделе 2.4, систему нормальных уравнений, решение которых дает нам искомые параметры:
Сравнивая формулы (2.32) и (2.33) с (2.22) и (2.23), видим, что они по своей сущности одинаковы. Только х заменено на у, а у — на х. Такая же взаимообразная перестановка величин х и у происходит и в других формулах. В соответствии с этим (2.24) в случае регрессии х на у принимает вид
Пример
Рис. 15. Сопряженные регрессионные прямые Продолжим рассмотрение примера из раздела 2.1, где речь шла об изучении зависимости между объемом производства и показателем использования основных фондов на 52 промышленных предприятиях одной отрасли хозяйства. Исходные данные приведены в табл. 1. Вначале построим уравнение регрессии в виде (2.9), отражающее зависимость объема производства
Оцениваемая регрессия у на х будет иметь такой вид:
Прямая регрессии пересекает ось ординат в точке повышается на 100 000 марок. Итак, коэффициент регрессии отражает влияние изменения основных фондов на уровень объема производства. Для планирующих органов иногда представляет интерес вопрос, какой величины должны достигнуть основные фонды предприятия при определенном объеме производства? Ответ на этот вопрос можно получить, определив регрессию х на у в виде функции (2.28). По формулам (2.33) и (2.34) определяем значения
Оцениваемое соотношение можно записать в виде
Рис. 16. Сопряженные регрессионные прямые в случае отсутствия связи между переменными Коэффициент 6 показывает, что стоимость основных фондов в среднем возрастет на 43 500 марок, если показатель объема производства увеличится на 1000 марок. Мы ограничимся построением уравнений регрессий. На рис. 15 представлены обе прямые регрессии. Они образуют «ножницы». Из графика видно, что при стохастической зависимости соотношение Если обе прямые регрессии пересекаются под прямым углом, то эмпирические данные не позволяют подтвердить гипотезу о существовании зависимости между переменными. В этом случае отдельные точки случайно разбросаны по всей диаграмме рассеяния, и отсутствует всякая тенденция к ориентации точек в определенном направлении (рис. 16). Если отсутствует регрессия у на х, то не существует также регрессии х на у и наоборот. При
Как уже упоминалось в разделе 2.4 (см. пояснение к формуле (2.19)), необходимой предпосылкой применения регрессионного анализа является выполнение условий: коэффициента регрессии равны нулю, если ковариация Как видно из рис. 15 и 16, обе сопряженные прямые регрессии пере секаются в точке с координатами
При Не всегда требуется находить обе сопряженные прямые регрессии. Чаще всего представляет практический интерес зависимость только в одном направлении. А иногда постановка задачи оказывается содержательной только при рассмотрении односторонней зависимости. По этой причине мы не продолжили пример из раздела 2.4, так как, на наш взгляд, в этом примере регрессия х относительно у экономически бессмысленна. Мы хотели бы подчеркнуть еще одну существенную особенность, вытекающую из наличия двух разных регрессионных прямых, описывающих связь между исследуемыми переменными при различном толковании их роли. Если существует взаимодействие между переменными у и х, то переменная также зависит от возмущающей переменной и. Но тем самым нарушается важная предпосылка применения метода наименьших квадратов (см. раздел 2.9). Если же, несмотря на это, мы применим метод наименьших квадратов для оценки по опытным данным неизвестных параметров уравнений регрессии у на
|
1 |
Оглавление
|