Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.6. СТАНДАРТНЫЕ ОШИБКИ ОЦЕНОККачество подбора функции регрессии можно оценить с помощью стандартных ошибок или дисперсий остатков и оценок параметров регрессии. Стандартная ошибка или дисперсия остатков. Стандартная ошибка остатков называется также стандартной ошибкой оценки регрессии в связи с интерпретацией возмущающей переменной и как результата ошибки спецификации функции регрессии (см. главу 2). О дисперсии остатков шла речь ранее в разделах 2.4, 2.9, 3.1 и 3.3. Возмущающая переменная и является случайной с определенным распределением вероятностей. Математическое ожидание этой переменной равно нулю (предпосылка 1), а дисперсия —
В знаменателе формулы (3.32) стоит число степеней свободы поясним это утверждение. Параметры множественной регрессии
вычисляют путем решения системы нормальных уравнений, в матричной форме записи имеющих вид
Подставим (2.60) в (2.63):
Раскрыв скобки и сделав соответствующие выкладки, получим
Матричное уравнение (3.33) содержит т.
что является следствием предпосылки 1 (математическое ожидание возмущающей переменной равно нулю). Из (3.33) при
что вытекает из предпосылки 5 (переменные В связи с тем что вычисление числителя в формуле (3.32) довольно затруднительно, мы хотим, опустив вывод, привести более простой способ его определения:
или в матричной форме записи:
Выражения сумм в правой части (3.35) содержатся в рабочей таблице для построения регрессии, а оценки параметров уже получены. Если снова обратиться к понятию коэффициента детерминации, введенному в разделах 3.1 и 3.2, то станет ясным физический смысл дисперсии (или стандартного отклонения) остатков — это та доля общей дисперсии Стандартные ошибка или дисперсии оценок параметров регрессии. При описании этих показателей будем исходить из заданных значений объясняющих переменных. Как указывалось в разделе 2.9, оценки параметров регрессии являются случайными величинами, имеющими определенное распределение вероятностей. Возможные значения оценок рассеиваются вокруг истинного значения параметра
Симметрическая матрица (3.36) на главной диагонали содержит дисперсии оценок параметров регрессии
а вне главной диагонали — их ковариации
Краткая форма записи матрицы (3.36):
Подставив в (3.39) формулу (2.86) из раздела 2.9
получим
или
Далее, в силу того, что
имеем
Так как
элементами главной диагонали которой являются искомые оценки дисперсий. Матрицу Если мы обозначим через
т. е. она равна произведению дисперсии остатков на
Найдем дисперсию и стандартную ошибку оценок параметров
а также
Согласно формуле (3.42) получим
Умножая
а также ее стандартную ошибку:
Умножив
а также стандартную ошибку этого коэффициента:
Рассмотрим более обстоятельно стандартную ошибку коэффициента
Формула (3.48) приобретет вид
Итак, стандартная ошибка коэффициента регрессии зависит: от рассеяния остатков. Чем больше доля вариации значений переменной у, необъясненной ее зависимостью от от рассеяния значений объясняющей переменной х. Чем сильнее это рассеяние, тем меньше стандартная ошибка коэффициента регрессии. Отсюда следует, что при вытянутом облаке точек на диаграмме рассеяния получаем более надежную оценку функции регрессии, чем при небольшом скоплении точек, близко расположенных друг к другу; от объема выборки. Чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка коэффициента регрессии. Здесь существует непосредственная связь с таким свойством оценки параметра регрессии, как асимптотическая несмещенность (см. раздел 2.9). Стандартная ошибка оценки параметра регрессии используется для оценки качества подбора функции регрессии. Для этого вычисляется относительный показатель рассеяния, обычно выражаемый в процентах:
Чем больше относительная стандартная ошибка оценки параметра, тем более оцененные величины отличаются от наблюдаемых значений зависимой переменной и тем менее надежны оценки прогноза, основанные на данной функции регрессии. Пример Вычислим сначала стандартную ошибку для простой линейной регрессии из раздела 2.4, которой описывалась зависимость производительности труда от уровня механизации работ. Итак, имеем
а также
Используя формулы (3.43) и (3.44), получим следующие значения дисперсий и стандартных ошибок оценок параметров регрессии:
По (3.50) относительные стандартные ошибки равны:
Далее по данным из раздела 2.7 вычислим дисперсии и стандартные ошибки оценок параметров множественной регрессии для зависимости производительности труда от уровня механизации работ, среднего возраста работников и среднего процента выполнения нормы. Обратная матрица
Применяя (3.43), (3.44) и (3.50), получим следующие результаты:
В то время как для простой линейной регрессии величины стандартных ошибок оценок параметров были приемлемы, для множественной регрессии такой вывод можно сделать только относительно стандартной ошибки коэффициента регрессии Элементы матрицы Пример Вычислим для простой регрессии ковариацию между постоянной
Отсюда следует, что завышение (или занижение) оценки истинного значения параметра Запишем полностью матрицу ковариаций и дисперсий оценок параметров регрессии, так как далее нам придется еще к ней обращаться:
Вычислим ковариации между оценками параметров для множественной регрессии:
На основе этих ковариаций можно так же, как в случае простой регрессии, оценить связи между отдельными параметрами регрессии. Но мы не будем здесь на этом останавливаться. Запишем теперь полностью матрицу ковариаций и дисперсий оценок параметров множественной регрессии:
Эта матрица будет применяться для специальных критериев в главах 8 и 11.
|
1 |
Оглавление
|