4.4. ЛИНЕЙНАЯ МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Как многократно подчеркивалось, в практике социально-экономических исследований чаще всего встречаются сложные взаимосвязи между явлениями. Отсюда возникает задача определения интенсивности, или тесноты, связи между более чем двумя явлениями (переменными). Для этой цели используется коэффициент множественной корреляции, или совокупный коэффициент корреляции, который характеризует тесноту связи одной из переменных с совокупностью других

Рассмотрим вначале корреляцию между тремя переменными. По аналогии с формой записи коэффициента множественной детерминации обозначим коэффициент множественной корреляции через Он показывает интенсивность связи при условии, что переменная

одновременно зависит от переменных В предположении линейной связи между переменными мы можем исходя из коэффициента детерминации (3.12) с учетом (4.13) записать:

Далее обратимся к (2.50):

Подставим (2.50) в (4.40):

Разделив числитель и знаменатель (4.41) на и учитывая выражения дисперсий а также ковариации получим

Применив формулы (4.33), (4.34) и (4.3), после соответствующих сокращений получим

Умножим первое из уравнений (4.36) на а второе — на . Затем сложим правые и левые части этих уравнений:

Правые части равенств (4.43) и (4.44) равны. Отсюда

или

Учитывая теперь (4.31) и (4.32), получим формулу коэффициента множественной корреляции в виде, очень удобном для практических вычислений:

Из (4.47) видно, что коэффициент множественной корреляции заключен в пределах

С помощью коэффициента множественной корреляции нельзя сделать вывод о характере взаимосвязи, т. е. о положительной или отрицательной корреляции между переменными. Только если все коэффициенты

парной корреляции имеют одинаковый знак, то можно этот знак отнести также к коэффициенту множественной корреляции и утверждать о соответствующем характере множественной связи. Чем больше значение коэффициента приближается к единице, тем взаимосвязь сильнее. Легко увидеть, что (4.47) для случая принимает вид

Итак, если объясняющие переменные не коррелированы, т. е. связь между ними отсутствует, то квадрат коэффициента множественной корреляции равен сумме квадратов коэффициентов парных корреляций. Другими словами, он равен сумме интенсивности взаимосвязи между у и а также между у и Следовательно, при некоррелированности объясняющих переменных анализ взаимосвязи облегчается.

Коэффициент множественной корреляции используется, кроме того, как показатель точности оценки функции регрессии, по нему можно судить, достаточно ли выбранные объясняющие переменные обусловливают количественную вариацию зависимой переменной. Если коэффициент множественной корреляции, который, как мы покажем далее, тесно связан с коэффициентом множественной детерминации, принимает значения, близкие к 1, то вариация зависимой переменной почти полностью определяется изменениями объясняющих переменных. Включенные в анализ объясняющие переменные оказывают сильное влияние на зависимую переменную.

Коэффициент множественной корреляции не меньше, чем абсолютная величина любого коэффициента парной и частной корреляции с таким же первичным индексом. Это справедливо независимо от того, существует между объясняющими переменными причинная связь или нет. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого утверждения.

Выражение коэффициента множественной корреляции для любого числа объясняющих переменных можно получить путем обобщения (4.46):

Используя матричную форму записи (4.37) и обобщая формулу (4.47), получим

Пример

Вычислим с помощью формулы (4.47) по данным из раздела 4.7 коэффициент множественной корреляции между производительностью труда, уровнем механизации работ и средним возрастом работников. Парные коэффициенты корреляции можно определить по (4.5):

Итак, по (4.47) получаем

Вычислим по тем же данным коэффициент множественной корреляций с помощью формулы (4.50), выполнив последовательно следующие операции:

Если ввести еще одну переменную — средний процент выполнения нормы, то коэффициент множественной корреляции примет следующее значение:

В обоих случаях коэффициенты множественной корреляции принимают достаточно высокие значения, близкие к единице, что свидетельствует о тесной связи между соответствующими переменными. В то же время, сравнивая оба значения, убеждаемся, что включение переменной (средний процент выполнения нормы) привело лишь к незначительному усилению связи. Более обстоятельной оценкой полученных результатов мы займемся в главе 8.