2.8. ЛИНЕЙНАЯ ЧАСТНАЯ РЕГРЕССИЯ

При рассмотрении множественной регрессии исследуется одновременное влияние нескольких объясняющих переменных на зависимую переменную. При интерпретации коэффициента множественной регрессии указывалось, что он выражает частное влияние переменной при постоянных значениях других объясняющих переменных. Таким образом, с точки зрения статистической методологии между множественной и частной регрессией разницы не существует. Мы хотим теперь это показать.

Если рассматривается регрессия трех связанных между собой переменных то нас интересует вопрос, как переменная у зависит от переменной при исключении влияния переменной и как переменная у зависит от переменной при постоянных значениях переменной На этот вопрос можно ответить с помощью частного регрессионного анализа. Предполагаем, что между переменными существуют линейные соотношения. Для ответа на наш вопрос достаточно представить частную регрессию у на при исключении Вначале найдем простую регрессию у на и регрессию на Эти регрессии выражаются с помощью следующих уравнений:

По аналогии с формулой (2.24) из раздела 2.4 запишем:

Исследуя зависимость у от при постоянных значениях переменной можно представить себе, что переменная изъята из анализа,

тогда регрессия у на определяется по данным, из которых исключено влияние

Используя легко показать, что обе средние у и равны нулю:

Тогда в соответствии с формулой (2.25) из раздела 2.4 функция регрессии по данным, из которых устранено влияние выразится следующим образом:

Регрессия переменных с исключением влияния таким образом, полностью определяется коэффициентом который мы назовем коэффициентом частной регрессии. Применяя метод наименьших квадратов к (2.71) для нахождения оценки неизвестного параметра получим:

Подставляя в (2.72) выражения (2,70) и (2.68) и выполняя ряд алгебраических выкладок, приходим к следующему, удобному для расчетов выражению, по форме аналогичному (2.27):

Сравнивая полученное выражение с формулой (2.51) из раздела 2.7, видим, что они полностью совпадают.

Мы показали, что частная регрессия не приводит к новым результатам при исследовании зависимостей. Следовательно, при изучении регрессии нет необходимости различать частную и множественную регрессию. Поэтому далее мы будем обсуждать только коэффициенты частной регрессии, так как это понятие имеет, как мы показали, четкую содержательную интерпретацию. И, напротив, при изучении корреляции имеется существенная разница между частной и множественной корреляцией»