3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

3.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

До сих пор в наших рассуждениях мы исходили из того, что под: бор функции линейной регрессии осуществлялся на основе соображений профессионально-теоретического характера, а вычисленные оценки параметров, входящие в уравнения регрессии, наиболее хорошо согласовывались с опытными данными. Критерий соответствия регрессии опытным данным заложен в требовании наименьших квадратов:

Результаты различных выборок имеют различное рассеяние. Поэтому может случиться, что построение регрессионной зависимости одного и того же экономического смысла по данным двух выборок из одной и той же генеральной совокупности приведет к различным уравнениям. Степень соответствия этих уравнений опытным данным, несмотря на одинаковый тип зависимости, может быть различна. Однако критерий (2.13) имеет недостаток: хотя его нижняя граница равна нулю, верхняя граница не может быть указана. Поэтому для оценки степени соответствия регрессии имеющимся эмпирическим данным он не используется. Желательно иметь в распоряжении показатель, отражающий, в какой мере функция регрессии определяется объясняющими переменными, содержащимися в ней. В качестве такого показателя можно выбрать коэффициент детерминации.

Прежде чем давать определение коэффициента детерминации, изложим некоторые соображения относительно его статистического обоснования. Выборочная дисперсия, характеризующая разброс наблюдаемых значений переменной у около ее среднего, равна:

Дисперсия называется общей. Она должна как можно больше обусловливаться изменениями объясняющих переменных. Исходя из этого производим разложение дисперсии. Отклонение результата наблюдения от общего среднего у можно представить в таком виде:

Возведя в квадрат обе части тождества (3.2) и просуммировав по получим равенство

Учитывая (2.75) и то, что можно показать, что

Тогда (3.3) запишется в виде

Разделив (3.4) на получим

Равенство (3.5) дает нам разложение общей дисперсии на две составляющие.

Как указывалось в главе 2, возмущающая переменная трактуется как результат ошибки измерения и ошибки уравнения. Поэтому дисперсия представляет собой ту часть общей дисперсии которая не объясняется функцией регрессии. Отсюда она получила название «необъясненная», или остаточная, дисперсия. Она измеряет ту часть рассеяния у, которая возникает из-за случайностей и изменчивости прочих неучтенных факторов. По (3.5) видно, что чем больше приближается к нулю, тем меньше эмпирические значения отклоняются от значений регрессии Вторая составляющая общей дисперсии — второе слагаемое в правой части тождества (3.5) — есть дисперсия значений регрессии так как (см. Однако рассеяние значений регрессии происходит только вследствие наклона прямой регрессии

который определяется величиной коэффициента регрессии. Таким образом, дисперсия представляет ту часть рассеяния переменной у, которая в основном обусловлена влиянием переменных . В связи с этим называют «объясненной» дисперсией или дисперсией, обусловленной регрессией.