7.7. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

В практике экономических исследований часто приходится изучать соотношения между явлениями, признаки которых представляют собой относительные величины. Из-за этого при применении методов корреляционного и регрессионного анализа возникают особые проблемы.

Обозначим через у и х переменные в их исходной форме. Например, у — общие затраты, — количество произведенной продукции. Требуется исследовать связь между себестоимостью и количеством произведенной продукции, т. е. определить соотношение между величинами

Можно исследовать также связь между величинами и у. Например, между производительностью трудаи объемом продукции (у), здесь х — затраты времени. В этих случаях интересуются соотношениями не между исходными переменными, а между признаками, производными от них.

Рассмотрим более подробно зависимость себестоимости от количества

произведенной продукции. Предположим, что уравнение определяет зависимость общих затрат от объема продукции в штуках. Исходя из логически-профессиональных соображений считаем, что зависимость себестоимости от объема продукции выражается квазилинейной функцией регрессии Эту регрессию можно построить различными способами: во-первых, основываясь на требовании

во-вторых, непосредственно по функции регрессии путем деления обеих частей этого уравнения на х после оценки его параметров на основе требования . В результате получим Вполне очевидно, что в общем случае т. е. оба метода приводят к различным результатам. Это вызвано различными требованиями при оценке параметров. Несомненно, для данного примера функция регрессии надежнее, так как

Это соотношение получается непосредственно из условия

Изложенные выше соображения справедливы для корреляционных связей линейного вида, за исключением тех случаев, когда частные средние зависимой переменной лежат точно на прямой.

Кроме этих зависимостей между относительными величинами, на практике встречаются также соотношения, когда переменная зависит от переменной Сюда относится, например, зависимость производительности труда от основных фондов, т. е. строится регрессия вида Соотношения между относительными величинами могут быть выражены также с помощью функции регрессии типа В таких случаях, например, по связи между исходными переменными у и х мы не можем непосредственно сделать вывод о связи между переменными и и наоборот. При переходе к относительным величинам абсолютные различия, существующие между исходными данными, претерпевают изменения. Поэтому между относительными величинами возникают совсем иные соотношения.

Другая проблема связана с вычислением средних из относительных величин. Если между двумя переменными, значения которых являются относительными величинами, существует связь, выражаемая уравнением регрессии то, применяя метод наименьших квадратов, получим следующие нормальные уравнения:

Разделив обе части этих уравнений на перейдем к уравнениям, содержащим средние из относительных величин. Эти средние—невзвешенные (простые). На практике же вычисляются взвешенные средние, которые мы не можем привлечь к построению данной регрессии. Простые средние из относительных величин в нормальных уравнениях являются только приблизительными оценками действительных взвешенных средних. Это вызывает затруднения при нахождении оценок параметров регрессии.

Проблемы, возникающие при изучении корреляции и регрессии относительных величин, еще мало изучены. Предположим, мы хотим рассмотреть зависимость оборачиваемости денег, во-первых, от нормы потребления и, во-вторых, от нормы накопления. В этом случае мы должны учитывать, что как норма потребления, так и норма накопления являются долями по отношению к национальному доходу. При повышении одной из норм другая снижается. Если эту закономерность учитывают в регрессии, то нередко приходят к экономически неинтерпретируемым результатам. Другая сложность заключается в том, что доля может принимать значения только в интервале или Следовательно, значения результативного признака (зависимой переменной) не должны выходить за эти пределы. Одно из условий регрессионного анализа заключается в том, чтобы дисперсия остатков была по возможности постоянна (гомоскедастичность). Но это условие при применении долей в общем не соблюдается. Оно не нарушается лишь в случае, когда зависимая переменная выражается также в долях. Следовательно, исходный материал, представленный в виде долей, следует подвергнуть такой обработке, чтобы к нему можно было применить модели регрессионного анализа. Это достигается путем преобразования переменных. Затронутые здесь вопросы более подробно рассмотрены в [40], [82], [132].