12.6. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

После того как мы кратко обсудили наиболее важные проблемы, связанные с идентификацией и предпосылками построения эконометрических моделей, можно заняться вопросами оценивания параметров этих моделей. Разработан ряд методов оценивания. Их выбор определяется в основном видом модели и возможностями идентификации. Далее мы рассмотрим различные методы оценивания, не вдаваясь в особые подробности и не приводя доказательств, а делая основной упор на возможности их применения.

I. Метод наименьших квадратов.

1. Применение к модели из взаимозависимых переменных. Для множественной регрессии, о которой говорилось в разделе 2.7, предполагалась независимость между объясняющими переменными и возмущениями (см. предпосылку 5 в разделе 2.9). Эта предпосылка означала также отсутствие многосторонней связи (как функциональной, так и стохастической) между зависимой и объясняющими переменными.

В различных уравнениях эконометрической модели со взаимозависимыми переменными (см. формулу объясняется предопределенными и совместно зависимыми переменными. Но совместно зависимые переменные коррелируют с возмущениями того же уравнения. В примере-модели (12.2) совместно зависимая переменная -одна из объясняющих величин для в первом уравнении. Однако стохастически независима от возмущающей переменной первого уравнения Это можно показать с помощью приведенной формы модели (12.16). Во втором уравнении содержится в последнем слагаемом правой части. Корреляция между вызвана одновременными соотношениями между

Если метод наименьших квадратов применяется к первому уравнению (12.2), то оценка его параметров производится так же, как в случае множественной регрессии (см. раздел 2.7). При этом минимизируется в направлении к т. е. предполагается, что их коррелирует только с Одновременная корреляция между и, следовательно, одновременное соотношение между с помощью метода наименьших квадратов не учитываются. Совместно зависимая переменная в правой части первого уравнения при применении метода наименьших квадратов рассматривается как предопределенная переменная. Аналогичные рассуждения и при применении метода наименьших квадратов ко второму уравнению (12.2). Итак, МНК-оценки параметров эконометрической модели со взаимозависимыми переменными более не состоятельны. Таким образом, существование одновременных соотношений между совместно зависимыми переменными в отдельных уравнениях эконометрической модели и предпосылка метода наименьших квадратов (отсутствие многосторонних связей между переменными) не согласуются.

Несмотря на это противоречие, практика показывает, что при оценивании эконометрической модели со взаимозависимыми переменными методом наименьших квадратов во многих случаях достигается удовлетворительная точность. Кроме того, метод обладает рядом свойств (робастность относительно мультиколлинеарности и ошибок спецификации, простота вычислительной процедуры, возможность обработки небольшого числа наблюдений), которые оказываются полезными при оценивании эконометрической модели.

Продемонстрируем применение метода наименьших квадратов к модели со взаимозависимыми переменными на формальном числовом примере Будем исходить из модели (12.1) или (12.7). Денежное обращение

оборачиваемость денег денежные доходы населения и размер вклада в сберегательную кассу представлены в виде отклонений от соответствующих средних (см. табл. 20). Благодаря этому в обоих уравнениях системы (12.7) исчезают постоянные регрессии Применим метод наименьших квадратов вначале к первому уравнению системы (12.7), которое мы запишем в виде множественной регрессии:

Таблица 20. Отклонения значений переменных модели (12.7) от их средних

Оценки параметров регрессии получим в соответствии с (2.64):

Произведем следующие операции:

Подставив в эти промежуточные результаты, получим МНК-оценку уравнения (12.30):

Аналогично представим второе уравнение (12.7) в виде множественной регрессии:

Выполнив соответствующие вычисления, получим МНК-оценку уравнения (12.31):

Оценки параметров указывают воздействия объясняющих переменных на (см. раздел 2.7). Причем существующие одновременные соотношения между переменными не учитываются. Из уравнения ничего нельзя узнать о характере связи между совместно зависимыми переменными хотя из анализа явления ясно, что с ускорением оборачиваемости денег сокращается денежное обращение, и наоборот (более обстоятельная экономическая интерпретация невозможна из-за формальной конструкции примера и из-за условных данных). Воздействие предопределенных переменных в обоих случаях равнонаправленно, т. е. рост денежных доходов населения приводит к ускорению денежного обращения (первое уравнение) и увеличение размера вклада в сберегательную кассу приводит к ускорению оборачиваемости денег (второе уравнение). Но количественная мера этих воздействий оказывается искаженной, так как при применении обычного метода наименьших квадратов не учитываются одновременные соотношения между денежным обращением и оборачиваемостью денег. Мы продолжим рассмотрение этого примера при оценивании модели косвенным методом наименьших квадратов.

2. Применение к рекурсивным моделям. Будем исходить из рекурсивной модели вида (12.17). Применение метода наименьших квадратов дает состоятельные оценки, если соблюдается определенная последовательность вычислительной процедуры. Вначале следует оценить первое уравнение, в правой части которого содержатся только предопределенные переменные. Если установлены параметры первого уравния, то из значений переменной вычитаются остатки т. е. вычисляются значения регрессии Расчетные значения регрессии подставляются во второе уравнение в виде значений переменной благодаря чему эта переменная принимает характер предопределенной переменной Затем оцениваются параметры второго уравнения. Так же вычисляются значения регрессии которые вместе со значениями регрессии подставляются в третье уравнение и т. д.

Если поочередность в оценивании параметров рекурсивной модели Не соблюдается, то обычный метод наименьших квадратов дает несостоятельные оценки. Таким образом, если для оценки произвольно отбирается любое уравнение, то это приводит к тем же результатам, что и при модели со взаимозависимыми переменными.

3. Применение к системе независимых уравнений. Поскольку в Этих моделях не возникают многосторонние зависимости между эндогенными переменными, каждое уравнение можно отдельно оценивать с Помощью метода наименьших квадратов, как в случае множественной регрессии. Если соблюдаются предпосылки, введенные в разделе 2.9, то оценки параметров будут обладать свойствами, указанными там же.

II. Косвенный метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов может применяться к системе одновременных уравнений, которые полностью или только точно идентифицируемы. Конечно, этот метод не может непосредственно применяться при оценивании параметров структурных уравнений, так как они не учитывают одновременных соотношений между совместно зависимыми переменными. Модель вначале представляется в приведенной форме. Это возможно при предположении, что модель полная. Применяя метод наименьших квадратов к каждому полученному уравнению, оценивают все параметры системы в приведенной форме. Так как по предположению все структурные уравнения точно идентифицируемы, на следующем этапе однозначно определяются структурные параметры по параметрам приведенной формы. Итак, структурные параметры оцениваются косвенно через параметры приведенной формы. Поэтому мы говорим о косвенном методе наименьших квадратов. Если соблюдаются предпосылки из раздела 2.9, то оценки, полученные с помощью косвенного метода наименьших квадратов, состоятельны. Метод неприменим, если модель состоит из сверхидентифицированных структурных уравнений, так как тогда структурные параметры не могут быть вычислены однозначно по параметрам приведенной формы. Это большой недостаток косвенного метода наименьших квадратов, так как практически во всех эконометрических моделях содержатся сверх-идентифицированные структурные уравнения.

Мы покажем применение косвенного метода наименьших квадратов, используя данные табл. 20. Так как значения переменных приведены в виде отклонений от их средних, структурная форма модели (12.7) упрощается:

Приведенная форма этой модели имеет вид:

Каждое уравнение приведенной формы (12.33) необходимо оценить отдельно по методу наименьших квадратов в соответствии с (2.64). Выполним следующие операции с матрицами и векторами:

В итоге получим оценки уравнений в приведенной форме (12.33):

Так как оба структурных уравнения точно идентифицируемы (см. раздел 12.4), параметры структурной формы однозначно определяются по параметрам приведенной формы на основе системы уравнений (см. (12.11)):

В результате получим оценки:

Таким образом, структурные уравнения (12.32) имеют вид:

По этим уравнениям мы можем сделать следующие выводы:

1. Параметры приведенной формы (12.33) отражают общее воздействие предопределенных переменных на совместно зависимые переменные (см. раздел 12.3).

а) Параметр указывает на непосредственное и косвенное воздействие денежных доходов населения на денежное обращение:

В — непосредственное воздействие, косвенное воздействие, возникающее на основе одновременных соотношений между

Параметр указывает на непосредственное и косвенное воздействие размера вклада в сберегательную кассу на оборачиваемость денег:

б) Благодаря существующим одновременным соотношениям между направление воздействия размера вклада в себерегательную кассу противоположно воздействию оборачиваемости денег на денежное обращение

Воздействие денежных доходов населения также противоположно воздействию денежного обращения на оборачиваемость денег

Эти воздействия нельзя обнаружить по структурной форме модели (12.32).

2. Параметры структурной формы (12.32) отражают непосредственное воздействие переменных (см. раздел 12.3). При сравнении или становится очевидным различие между непосредственным и общим воздействием предопределенной переменной или соответственно Кроме того, взаимные воздействия между денежным обращением и оборачиваемостью денег можно определить по параметрам

3. При сравнении результатов применения обычного и косвенного методов наименьших квадратов к структурным уравнениям (12.30) и (12.31) обнаруживается четкое различие по всем параметрам:

III. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

В связи с тем что обычный метод наименьших квадратов не всегда дает удовлетворительные оценки моделей из систем одновременных уравнений, были разработаны методы оценивания, которые учитывают многосторонние связи совместно зависимых переменных. Мы остановимся лишь на наиболее часто применяемом двухшаговом методе наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов является обобщением метода наименьших квадратов. Он представляет собой обычный метод наименьших квадратов для оценивания параметров структурного уравнения в два этапа. Вначале мы изложим основную идею метода, а затем проиллюстрируем применение этого метода на примере. Отправной точкой является структурное уравнение модели (12.4), которое запишем в следующем виде:

где — вектор наблюдений над совместно зависимой переменной, подлежащей определению с помощью структурного уравнения; матрица наблюдений над совместно зависимыми переменными, содержащимися

кроме того, в структурном уравнении; вектор оценок параметров зависимых переменных, содержащихся в матрице матрица наблюдений над предопределенными переменными, которые содержатся в структурном уравнении; — вектор оценок параметров этих предопределенных переменных; — вектор остатков структурного уравнения для всех периодов наблюдений. Пусть по счетному правилу это уравнение идентифицируемое. Совместно зависимые переменные, содержащиеся в матрице Y, не являются стохастически независимыми относительно остатков структурного уравнения Поэтому непосредственное применение метода наименьших квадратов приведет к несостоятельным оценкам. Основная идея двухшагового метода наименьших квадратов состоит в замене матрицы

Y в правой части (12.34) матрицей оценок (матрицей значений регрессий). Благодаря этому содержащиеся в матрице переменные приобретают характер предопределенных переменных, и применение метода наименьших квадратов даст удовлетворительные результаты.

Итак, первый этап применения двухшагового метода наименьших квадратов заключается в определении матрицы значений регрессий Для этой цели строится приведенная форма совместно зависимых переменных матрицы

Однако для построения приведенной формы (12.35) должны быть заданы все предопределенные переменные модели (см. раздел 12.3).

Матрица значений регрессий Y получается из (12.35) путем известного преобразования:

Значения регрессий матрицы Y независимы от возмущающих переменных приведенной и структурной форм, так как они являются линейными функциями только от предопределенных переменных. Таким образом, отдельные уравнения (12.36) представляют собой множественную регрессию, для которой выполняется предпосылка 5 из раздела 2.9.

Метод наименьших квадратов может применяться для оценивания параметров матрицы С. В соответствии с (2.64) имеем:

Подставляя (12.37) в (12.36), получим матрицу значений регрессий:

Таким образом, задача, поставленная на первом этапе применения метода, выполнена.

На втором этапе матрицу Y в (12.34) заменяют матрицей Y.

При этом следует учитывать, что по . Итак,

или, учитывая, что

В полученном уравнении в правой части находятся только предопреде ленные переменные, так как матрица содержит только предопределенные переменные, а элементы матрицы Y «предопределены» через (12.38). При этом значения регрессий Y больше не коррелируют с остатками Таким образом, выражение (12.40) представляет собой уравнение множественной регрессии, для которого выполняется предпосылка 5 из раздела 2.9. Неизвестные параметры регрессии могут быть оценены с помощью метода наименьших квадратов. При этом следует учитывать, что остатки (12.40) не являются больше остатками структурного уравнения (см. (12.39)).

Двукратное (в два этапа) применение метода наименьших квадратов можно представить в виде одной формулы. Для этого образуем систему нормальных уравнений для уравнения регрессии (12.40). Если мы положим, что

то (12.40) можно представить в виде:

Тогда в соответствии с (2.63) из раздела 2.7 мы получим систему нормальных уравнений:

Подставив (12.41) в (12.43), приходим к выражению:

Используя (12.38) для можно записать уравнения для вычисления оценок двухшагового метода наименьших квадратов:

Формула (12.45) представляет собой результат применения двухшагового метода наименьших квадратов к структурному уравнению.

Легко видеть, что матрица значений регрессий полученная на первом

этапе применения метода, не содержится в (12.45) в явном виде. В нее входят только матрицы и векторы наблюдений. Преимущество двухшагового метода заключается, во-первых, в том, что он применим к сверхидентифицированным уравнениям, и, во-вторых, в том, что нерассмотренные нами структурные уравнения модели не должны быть точно специфицированы. Разумеется, должны быть известны все предопределенные переменные модели и указаны результаты наблюдений над ними. Недостаток метода состоит в том, что в оценках содержатся не остатки структурного уравнения — а остатки уравнения, полученного на втором этапе,

Пример

Воспользуемся снова примером-моделью (12.32) и оценим первое уравнение с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Конкретизируем вначале уравнение (12.34). Переменная определяется с помощью первого уравнения модели (12.32). Следовательно, равна вектору наблюдений над переменной . В первое уравнение включена также другая совместно зависимая переменная Из этого следует, что матрица Y состоит только из вектора наблюдений над переменной Поэтому полагаем, что Благодаря этому а содержит только параметр . В первом уравнении содержится предопределенная переменная так что в матрице X имеется только вектор наблюдений над переменной . В соответствии с этим состоит только из параметра Вектор становится вектором остатков первого структурного уравнения: Уравнение (12.34) принимает следующую конкретную форму:

Для оценок параметров в (12.46) воспользуемся формулой (12.45):

По данным табл. 20 получим промежуточные результаты:

Подставив в (12.47) эти промежуточные результаты, найдем численные значения искомых параметров:

Таким образом, оценка первого уравнения (12.32) по двухшаговому методу наименьших квадратов имеет вид:

Сравнивая последнее выражение с уравнением, полученным косвенным методом наименьших квадратов (см. с. 263), замечаем, что они совпадают. Это объясняется тем, что первое уравнение модели (12.32) точно идентифицируемо. В случае точно идентифицируемых уравнений модели оценки косвенного и двухшагового методов наименьших квадратов совпадают.

Аналогичным способом можно оценить второе уравнение модели (12.32). Получим результат, идентичный оценке уравнения по косвенному методу наименьших квадратов, так как второе уравнение модели также точно идентифицируемо.

Разработан также ряд других методов оценивания систем одновременных уравнений, среди которых прежде всего следует назвать трехшаговый метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия с ограниченной и с полной информацией, метод оценок класса итеративный метод инструментальных переменных и метод главных компонент. Заинтересованный читатель может познакомиться с этими методами в специальной литературе