10. ТИПИЧНЫЙ ПРИМЕР

В этой главе мы хотим продемонстрировать на типичном примере применение методов регрессионного и корреляционного анализа для исследования зависимости экономических явлений.

На одном объединении народных предприятий ГДР изучалась зависимость объема производства от капитальных вложений и выполнения нормы выработки Для построения модели были собраны данные по исследуемым переменным на 12 предприятиях этого объединения (см. табл. 18). Исходя из экономических соображений предполагаем, что зависимость между переменной у и переменными имеет линейный характер.

Таблица 18. Объем производства, капиталовложения и выполнение нормы выработки на 12 предприятиях объединения народных предприятий ГДР

(см. скан)

Сначала определим простые линейные регрессии

а) Построим уравнение регрессии характеризующее зависимость объема производства от капиталовложений. Используя информацию табл. 18, получим

Построенное уравнение имеет вид:

В первых скобках под коэффициентом регрессии стоит его стандартная ошибка, а во вторых скобках — значение полученное по (8.55). Коэффициент детерминации вычислен по (4.13), значение — по (8.50), коэффициент корреляции — по (4.20), значение для оценки его значимости — по (8.38). Далее,

Сравнивая расчетные значения статистик с критическими, приходим к выводу о значимости полученных оценок при Коэффициент регрессии показывает, что в среднем объем производства увеличивается на марок, если капиталовложения возрастают на 1000 марок.

б) Построим уравнение регрессии характеризующее зависимость объема производства от выполнения нормы выработки. Используя информацию, приведенную в табл. 18, получим

Построенное уравнение имеет вид:

В этом случае также приходим к выводу о значимости полученных оценок при Коэффициент регрессии показывает, что в среднем объем производства увеличивается на марок с ростом выполнения нормы выработки на

Коэффициенты детерминации обеих линейных регрессий сравнительно малы. Изменения объема производства недостаточно полно объясняются изменениями капиталовложений и выполнения нормы выработки. Поэтому теперь поставим задачу определить множественную регрессию, включив в анализ все три переменные. Итак,

Построенное уравнение множественной регрессии имеет вид:

(1,029)

В третьих скобках под коэффициентами регрессии указаны стандартизованные коэффициенты регрессии, вычисленные по (2.67). Коэффициент детерминации вычислен по (4.69), значение для оценки его значимости по (8.52), коэффициент множественной корреляции — по (4.47), коэффициенты частной корреляции — по (4.60), а значения для оценки их значимости по (8.41). По таблицам приложения находим критические значения

Сравнивая расчетные значения статистик с критическими, приходим к выводу о значимости полученных оценок при Переменные как в отдельности (значимость коэффициентов регрессий), так и совместно (значимость коэффициента детерминации) оказывают существенное влияние на изменение переменной у. Коэффициент множественной детерминации указывает на то, что изменения объема производства в сильной степени определяются вариацией капиталовложений и выполнения нормы выработки. Включение в анализ переменных существенно увеличивает долю объясненной дисперсии. Полученное уравнение множественной регрессии объясняет общий разброс на 84, 9%. В улучшении соответствия регрессии исходным данным можно убедиться также, применяя критерий (8.60). При сопоставлении получим расчетное значение а при сопоставлении расчетное значение при критическом значении

Коэффициент частной регрессии показывает, что объем производства в среднем возрастает на марок с увеличением капиталовложений на 1000 марок при постоянном показателе выполнения нормы выработки. Коэффициент частной регрессии свидетельствует о том, что при одних и тех же капиталовложениях и при изменении выполнения нормы выработки на объем производства

в среднем изменяется на марок. Как известно, стандартизованные коэффициенты регрессии показывают сравнительную силу влияния изменения каждой объясняющей переменной на изменение зависимой переменной. Следуя этой интерпретации, видим, что обе переменные оказывают практически одинаковое влияние на изменение объема производства (соответствующие стандартизованные коэффициенты регрессии равны Этот вывод можно подтвердить, рассмотрев коэффициенты парных и частных корреляций Кроме того, с помощью критерия (8.61) можно показать, что различие между коэффициентами частной регрессии статистически незначимо. (Расчетное значение статистики составляет при критическом ее значении

Для нашего примера коэффициенты частной регрессии меньше соответствующих коэффициентов простой регрессии. Причина заключается в том, что при вычислении коэффициентов частной регрессии каждый раз исключается влияние другой переменной. Очевидно, не оказывают непосредственного влияния на переменную у, а воздействуют на нее через В связи с этим возникает вопрос о существовании коллинеарности между Ответить на этот вопрос можно с помощью простого коэффициента корреляции, характеризующего тесноту связи между капиталовложениями и выполнением нормы выработки (первая отправная точка установления мультиколлинеарности).

Имеем:

Критерий не подтверждает значимой корреляции между переменными Осуществим проверку существования мультиколлинеарности дополнительно с помощью критерия Фаррара — Глаубера, который является более надежным общим показателем линейной связи между объясняющими переменными. По (9.9) получим расчетное значение статистики Так как критическое значение составляет приходим к выводу, что мультиколлинеарность незначима.

Проверка статистической надежности простых и множественной регрессий дает нам удовлетворительные результаты. Однако, как показывает коэффициент детерминации, рассмотрение только простой регрессии недостаточно. Кроме того, расчетные значения статистик при проверке значимости коэффициентов частной регрессии, корреляции и детерминации значительно больше, чем расчетные значения статистик соответствующих парных коэффициентов. Множественная регрессия дает более адекватное отражение экономического явления.

Укажем доверительные границы для множественной регрессии и ее параметров. В соответствии с (8.14) доверительные границы для коэффициентов частной регрессии будут следующими:

При построении доверительных границ для коэффициента множественной корреляции по (8.16) и (8.6) вместо квантиля нормального распределения

воспользуемся из-за малого объема выборки квантилем -распределения :

Доверительные границы для значений регрессии, вычисленные по (8.24), приведены во втором и третьем столбцах табл. 19, а доверительные границы для отдельных наблюдений переменной у, вычисленные по (8.36), — в четвертому пятом столбцах.

Таблица 19. Зависимость объема производства от капиталовложений и выполнения нормы выработки. Доверительные границы для значений регрессии и отдельных наблюдений переменной у

(см. скан)